Archive for June, 2013

0

Limiti i funksionit Matura 2013. Forma e pacaktuar ∞-∞,∞/∞,0/0

Gjeni limitet:

a)$\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+x&space;\right&space;)$

b) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+16}-4}$

c) $\lim_{x\rightarrow&space;+\infty&space;}\frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+x}-x}$

zgjidhje

a) $\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+x&space;\right&space;)=\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\frac{\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+x&space;\right&space;)\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}-x&space;\right&space;)}{\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}-x&space;\right&space;)}=\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=0$  sepse $\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}-x&space;\right&space;)=\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}\left&space;(&space;1+\frac{1}{x^{2}}&space;\right&space;)}-x&space;\right&space;)=\lim_{x\rightarrow&space;-\infty&space;}\left&space;[&space;-x\left&space;(&space;\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1&space;\right&space;)&space;\right&space;]&space;=+\infty$       $\sqrt{x^{2}}=-x$  per $x<0$

b)$\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+16}-4}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}-1&space;\right&space;)\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+1&space;\right&space;)\left&space;(\sqrt{x^{2}+16}+4&space;\right&space;)}{\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+16}-4&space;\right&space;)\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+16}+4&space;\right&space;)\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+1&space;\right&space;)}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{x^{2}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+16}+4&space;\right&space;)}{x^{2}\left&space;(&space;\sqrt{x^{2}+1}+1&space;\right&space;)}=\frac{8}{4}=4$

c) $\lim_{x\rightarrow&space;+\infty&space;}\frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+x}-x}=\lim_{x\rightarrow&space;+\infty&space;}\frac{x\left&space;(&space;\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{x}}&space;\right&space;)}{x\left&space;(&space;\sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}}-1&space;\right&space;)}=-1$  Kryej veprimet qe nga faktorizimi brenda rrenjeve, pastaj thjeshto me x .

Join the Forum discussion on this post

0

Konsultime Mat avancuar 26.06.2013. Limiti 1

Gjeni limitet:

a) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{2cosx\left&space;(&space;1-cosx&space;\right&space;)}{sin^{2}x}$

b) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{cos3x-cosx}{cosx-1}$

c)$\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{1-cos^{2}x}{x\cdot&space;sinx}$

d)$\lim_{x\rightarrow&space;\frac{\pi&space;}{2}}\frac{\pi&space;-2x}{cosx}$

e)$\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x}}{tg^{2}x}$

zgjidhje

a) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{2cosx\left&space;(&space;1-cosx&space;\right&space;)}{sin^{2}x}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[\frac{1-cosx}{x^{2}}\cdot&space;\frac{x^{2}}{sin^{2}x}\cdot&space;2cosx&space;\right&space;]=\frac{1}{2}\cdot&space;1\cdot&space;2=1$

b) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{cos3x-cosx}{cosx-1}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\left&space;(1-cosx&space;\right&space;)-\left&space;(&space;1-cos3x&space;\right&space;)}{-\left&space;(&space;1-cosx&space;\right&space;)}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[&space;\frac{1-cos3x}{1-cosx}-1&space;\right&space;]=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[\frac{1-cos3x}{(3x)^{2}}\cdot&space;\frac{x^{2}}{1-cosx}\cdot&space;9-1&space;\right&space;]=\frac{1}{2}\cdot&space;2\cdot&space;9-1=8$

c) $\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{1-cos^{2}x}{x\cdot&space;sinx}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[\frac{1-cosx}{x^{2}}\cdot\frac{x}{sinx}&space;\right&space;]=\frac{1}{2}\cdot&space;1=\frac{1}{2}$

d) Zevendesojme  $\frac{\pi&space;}{2}-x=t$$x\rightarrow&space;\frac{\pi&space;}{2}\Rightarrow&space;t\rightarrow&space;0$  atehere$\lim_{x\rightarrow&space;\frac{\pi&space;}{2}}\frac{\pi&space;-2x}{cosx}=\lim_{t\rightarrow&space;0}\frac{\pi&space;-2\left&space;(&space;\frac{\pi&space;}{2}-t&space;\right&space;)}{cos\left&space;(&space;\frac{\pi&space;}{2}-t&space;\right&space;)}=\lim_{t\rightarrow&space;0}\frac{2t}{sint}=2\cdot&space;\lim_{t\rightarrow&space;0}\frac{t}{sint}=2$

e)$\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x}}{tg^{2}x}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\frac{\left&space;(\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x}&space;\right&space;)\cdot&space;\left&space;(&space;\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}&space;\right&space;)}{tg^{2}x\cdot&space;\left&space;(&space;\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}&space;\right&space;)}=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[\frac{1+xsinx-cos2x}{tg^{2}x\cdot&space;\left&space;(&space;\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}&space;\right&space;)}&space;\right&space;]=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[&space;\frac{1-cos2x+xsinx}{tg^{2}x}&space;\right\cdot&space;\frac{1}{\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}}&space;]=\lim_{x\rightarrow&space;0}\left&space;[&space;\left&space;(\frac{1-cos2x}{tg^{2}x}+\frac{xsinx}{tg^{2}x}&space;\right&space;)\cdot&space;\left&space;(&space;\frac{1}{\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}}&space;\right&space;)&space;\right&space;]=....$

Rregullo vetem faktorin  e pare ne kllapa $\frac{1-cos2x}{\left&space;(&space;2x&space;\right&space;)^{2}}\cdot&space;4\cdot&space;\frac{x^{2}}{tg^{2}x}+\frac{x}{sinx}\cdot&space;cos^{2}x$   dhe llogarit limitin.

Problemi eshte te veqosh limitet e rendesishme te:   $\frac{sinax}{ax}$  , $\frac{1-cos\left&space;(ax&space;\right&space;)}{(ax)^{2}}$ , $\frac{tg(ax)}{ax}$  etj. sepse ne shumicen e rasteve tek ato eshte forma e pacaktuar

0

Matura 2013 Test3 per konsultimet Dt 26.06.2013

Testi 3. Shkarkoje KETU

0

Volvoja parkohet me ane te telefonit

Kompania suedeze e prodhimit të automjeteve  ka kryer me sukses testimin mbi një makinë që parkohet vetë, mjafton të shtypës një buton në telefonin tuaj. Shiko videon

0

Instalo NITRO PDF

Nese nuk ke Lexues te PDF atehere shiko menyren e instalimit te Nitro PDF.

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni i anasjellte. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

Nese per nje funksion relacioni i anasjellte i tij eshte funksion, atehere themi ai se ka funksion te anasjellte.

KNM qe nje funksion te kete funx te anasjellte eshte qe ai te jete bijeksion. Pra per te provuar se funksioni ka te anasjellte do te provojme se ai eshte bijeksion.

1.Tregoni se funksioni  $y=\frac{1}{3}2^{x-1}$  eshte bijeksion i BP   (E)  ne BV  (F)  te tij. Gjeni formulen per funksionin e anasjellte.

zgjidhje

$E=R$  (bashkesia e percaktimit) $F=]0;+\infty&space;]$  (bashkesia e vlerave)

$y'=\frac{1}{3}2^{x-1}(x-1)'ln2=\frac{1}{3}2^{x-1}ln2>0$   funksioni eshte rrites ne gjithe E, prandaj eshte injektiv.

Ekuacioni $b=\frac{1}{3}2^{x-1}\Leftrightarrow&space;b=\frac{1}{3}\cdot&space;2^{x}\cdot&space;2^{-1}\Leftrightarrow&space;2^{x}=6b\Leftrightarrow&space;x=log_{2}6b$  , b>0 ekuacioni ka zgjidhje atehere funksioni eshte syrjektiv. Funksioni eshte Bijektiv prandaj ka funksion te anasjellte.

Per te gjetur formulen e funksionit te anasjellte ne menyre mekanike nxjerrim x ne varesi te y dhe nderrojme vendet e ndryshoreve.

$y=\frac{1}{3}2^{x-1}\Leftrightarrow&space;y=\frac{1}{3}\cdot&space;2^{x}\cdot&space;2^{-1}\Leftrightarrow&space;2^{x}=6y\Leftrightarrow&space;x=log_{2}6y$   atehere $f^{-1}:y=log_{2}6x$

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni injektiv, syrjektiv. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

Funksioni f:$X\rightarrow&space;Y$  quhet bijektiv vetem nese ai eshte njeheresh edhe injektiv edhe syrjektiv.

$y=f(x)$  bijeksion $\Leftrightarrow&space;\left\{\begin{matrix}&space;\forall&space;x_{1},x_{2}\epsilon&space;X,x_{1}\neq&space;x_{2}\Rightarrow&space;f(x_{1})\neq&space;f(x_{2})\\&space;\forall&space;b\epsilon&space;Y,\exists&space;x_{1}\epsilon&space;X,&space;qe,&space;f(x_{1})=b&space;\end{matrix}\right.$  ,me fjale,  fytyra te ndryshme kane shembellime te ndryshme, dhe çdo element i bashkesise se mbarimit eshte vlere e funksionit.  (ndryshe pasqyrim nje per nje)

1.Tregoni se funksioni $y=\frac{a}{x}$  eshte bijeksion i $R^{*}$ ne $R^{*}$$(a\neq&space;0)$

zgjidhje

$x_{1}\neq&space;x_{2}\Rightarrow&space;\frac{a}{x_{1}}\neq&space;\frac{a}{x_{2}}\Rightarrow&space;f(x_{1})\neq&space;f(x_{2})$    funksioni eshte injektiv. Le te jete $b\epsilon&space;R^{*}$ e çfardoshme, ekuacioni $b=\frac{x_{1}}{a}$  ka zgjidhje numrin $x_{1}=a\cdot&space;b$   e cila ekziston gjithmone, prandaj funksioni eshte syrjektiv, per pasoje eshte bijektiv.

2.Shqyrtoni funksionin $y=2x^{2}$.

zgjidhje

Per $x_{1}=-1,x_{2}=1$  kemi   $x_{1}\neq&space;x_{2}$    por  $f(x_{1})=f(x_{2})=2$  funksioni nuk eshte injektiv sepse fytyra te ndryshme kane te njejtin shembellim. Prandaj nuk eshte as bijektiv.

3.Shqyrtoni te njejtin funksion por me fillim ne $R^{+}$  dhe mbarim ne $R$.

zgjidhje

Per $x>0$  , $x_{1}\neq&space;x_{2}\Rightarrow&space;2x_{1}^{2}\neq&space;2x_{2}^{2}\Rightarrow&space;f(x_{1})\neq&space;f(x_{2})$   pra funksioni eshte injektiv. VO Funksioni monoton ne nje bashkesi eshte injektiv. Perveq menyres se mesiperme mund te veprojme edhe duke studiuar monotonone e funksionit. Ne rastin tone derivati ne bashkesine ku shqyrtohet eshte pozitiv kjo sjell qe funksioni eshte rrites ne gjithe bashkesine , prandaj eshte injektiv.

Ekuacioni $b=2x^{2}$  nuk ka zgjidhje per çdo $b\epsilon&space;R$. per shembull b=-4.  Atehere nuk eshte syrjektiv si pasoje nuk eshte bijektiv.

VO. Te njejtin funksion e shqyrtojme me fillim ne $R^{+}$  dhe mbarim ne $R^{+}$ . Ne kete rast eshte bijeksion. Argumentojeni vete. Prandaj eshte shume e rendesishme te shikohet bashkesia e fillimit dhe e mbarimit.

4.Si duhet te jete m qe funksioni i meposhtem te jete bijeksion i R ne R.   $\left\{\begin{matrix}&space;-x&space;&&space;per&space;&x<0&space;\\&space;mx^{2}&per&space;&&space;x\geq&space;0&space;\end{matrix}\right.$

zgjidhje

Per disa funksione duhet edhe arsyetimi me ane te grafikut te funksionit. Funksioni eshte injektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne te shumten nje pike. Funksioni eshte syrjektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne te pakten nje pike. Funksioni eshte bijektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne nje dhe vetem nje pike.

Arsyetojme per funksionin tone: Pjesa e pare e grafikut eshte pergjysmorja e kuadrantit te dyte. Qe funksioni te jete injektiv duhet pjesa e dyte e grafikut te funksionit, qe eshte njera nga pjeset simetrike te paraboles, te jete poshte boshtit Ox. Prandaj $m<0$  . Per $m<0$  duke i trajtuar dy pjeset veç e veç shohim qe funksioni eshte bijektiv. Arsyetimi mund te plotesohet duke ndertuar grafikun.

Postimi tjeter per funksionin e anasjellte

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni joperiodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Tregoni se funksionet e meposhtme nuk jane periodike. a)$y=cos(x)^{2}$   b)$y=sin\sqrt{x}$     c)$y=sin\left&space;|&space;x&space;\right&space;|$

zgjidhje

Le te jete T numri me i vogel qe ploteson kushtin $f(x+T)=f(x)$  atehere per funksionin e pare kemi: $cos(x+T)^{2}=cos(x)^{2}\Rightarrow&space;(x+T)^{2}-x^{2}=2\pi&space;\Rightarrow&space;x^{2}+2Tx+T^{2}-x^{2}=2\pi&space;\Rightarrow&space;T^{2}+2Tx-2\pi&space;=0$

Do te thote se ekzistenca dhe vlera  e T varet nga x, per vlera te ndryshme te x T merr vlera te ndryshme, pra funksioni nuk mund te jete periodik sepse nuk ekziston asnje T qe ploteson perkufizimin.

Arsyetimi eshte njelloj edhe per rastet tjera vetem ndryshojne veprimet.

b)$sin\sqrt{x+T}=sin\sqrt{x}\Rightarrow&space;\sqrt{x+T}-\sqrt{x}=2\pi&space;\Rightarrow&space;\sqrt{x+T}=\sqrt{x}+2\pi&space;\Rightarrow&space;x+T=x+4\pi^{2}&space;+4\pi&space;\sqrt{x}\Rightarrow&space;T=4\pi&space;^{2}+4\pi&space;\sqrt{x}$

c)$sin\left&space;|&space;x+T&space;\right&space;|=sin\left&space;|&space;x&space;\right&space;|\Rightarrow&space;\left&space;|&space;x+T&space;\right&space;|-\left&space;|&space;x&space;\right&space;|=2\pi$ .  per  $x<0$ dhe $\left&space;|x&space;\right&space;|  kemi $x+T+x=2\pi&space;\Rightarrow&space;T=2\pi&space;-2x$  .  Nuk ploteson perkufizimin

Ne postimin tjeter funksioni injektiv, syrjektiv, bijektiv. Funksioni i anasjellte

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni periodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Gjeni perioden e funksioneve te meposhtme: a)$y=sinx\cdot&space;cosx$   b)$y=2cos^{2}x-1$ , c)$y=sin^{2}x$   d)$y=\frac{cosx}{sinx}$

zgjidhje

Funksionet sinkx, coskx, kane perioden $T=\frac{2\pi&space;}{k}$, ndersa funksionet tgkx, cotgkx  kane perioden $T=\frac{\pi&space;}{k}$

a) $y=sinx\cdot&space;cosx=\frac{1}{2}\cdot&space;2sinx\cdot&space;cosx=\frac{1}{2}sin2x\Rightarrow&space;T=\frac{2\pi&space;}{2}=\pi$

b)$y=2cos^{2}x-1=cos^{2}x-sin^{2}x=cos2x\Rightarrow&space;T=\pi$

c)$cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x=1-2sin^{2}x\Rightarrow&space;sin^{2}x=\frac{1}{2}\left&space;(&space;1-cos2x&space;\right&space;)$   Te vertetojme se perioda e ketij funksioni eshte pi.  Shenojme me T perioden e funksionit.$f(x+T)=f(x)\Rightarrow&space;\frac{1}{2}\left&space;[&space;1-cos2(x+T)&space;\right&space;]=\frac{1}{2}\left&space;(&space;1-cos2x&space;\right&space;)\Leftrightarrow&space;1-cos2(x+T)=1-cos2x\Leftrightarrow&space;cos2(x+T)=cos2x\Rightarrow&space;2(x+T)-2x=2\pi&space;\Rightarrow&space;T=\pi$

d)Njelloj funksioni eshte cotgx.

2.Vertetoni se nese funksioni f eshte periodik me periode T, atehere funksioni g:$y=A\cdot&space;f(kx+b)$  ku A, k, b jane konstante (k>0) eshte periodik me periode T/k.

zgjidhje

Funksioni f periodik kjo do te thote se $f(x+T)=f(x)\Rightarrow&space;f\left&space;[&space;(kx+b)+T&space;\right&space;]=f(kx+b)$ . E zeme se a eshte perioda e funksionit g d.m.th $g(x+a)=g(x)\Rightarrow&space;g(x+a)=A\cdot&space;f\left&space;[&space;k(x+a)+b&space;\right&space;]=A\cdot&space;f\left&space;[&space;(kx+b)+ka&space;\right&space;]=A\cdot&space;f(kx+b)=g(x)\Rightarrow&space;ka=T\Rightarrow&space;a=\frac{T}{k}$

Postimi tjeter per funksionet jo periodike

0

Konsultimet Mat avancuar 21 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Ne drejtezen d:$\frac{x}{1}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-3}{-1}$  te gjendet pika me e afert me piken A(3,2,6)

zgjidhje

Pika me e afert e pikes A ne drejtezen d eshte M projeksioni i A ne d. Per ta gjetur kete pike ndertojme planin a pingul me drejtezen d dhe gjejme pikeprerjen e ketij plani me drejtezen.Vektori drejtues i drejtezes d sheben si vektor pingul per planin. Ekuacioni i planit eshte  $1\cdot&space;(x-3)+2\cdot&space;(y-2)-1\cdot&space;(z-6)=0\Leftrightarrow&space;x+2y-z-1=0$

Ekuacionet parametrike te drejtezes jane: $\left&space;\{&space;\begin{matrix}&space;x=t&space;\\&space;y=2t-7\\&space;z=-t+3&space;\end{matrix}&space;\right.$   Kordinatat e pikes M gjenden duke zgjidhur sistemin: $\left&space;\{&space;\begin{matrix}&space;x=t&space;\\&space;y=2t-7\\&space;z=-t+3\\&space;x+2y-z-1=0&space;\end{matrix}&space;\right.\Leftrightarrow&space;t+2(2t-7)-(-t+3)-1=0\Leftrightarrow&space;t=3$

zevendesojme dhe gjejme x=3, y=-1, z=0  dmth M(3;-1;0)

2.Te vertetohet se drejteza $\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{3}$   shtrihet ne planin $x+y-z-6=0$

zgjidhje

Nje menyre zgjidhje eshte duke vendosur ne nje sistem ekuacionet parametrike te drejtezes dhe ekuacionin e planit  si me siper. Ekuacioni i fundit do te kete pafundesi zgjidhjesh do te jete i formes  $0\cdot&space;t=0$

Menyra e dyte: Ekuacionet parametrike te drejtezes jane:   $\left&space;\{&space;\begin{matrix}&space;x=2t+2\\&space;y=t+3\\&space;z=3t-1&space;\end{matrix}&space;\right.$   Marrim dy pika te çfardoshme te drejtezes dhe provojme se i perkasin planit, vertetojne ekuacionin e tij. (Nese dy pika te nje drejteze ndodhen ne nje plan atehere e gjithe drejteza shtrihet ne ate plan). Per t=0  marrim x=2, y=3, z=-1. Zevendesojme tek plani 2+3+1-6=0 (i vertete).  Per t=1 marrim x=4, y=4, z=2. Zevendesojme 4+4-2-6=0 (ivertete). Drejteza shtrihet ne plan.

3.Plani mx+ny+6z+3 dhe drejteza   $\frac{x-2}{2}+\frac{y+5}{-4}=\frac{z+1}{3}$  jane pingule. Te gjendet m+n

zgjidhje

Meqe drejteza eshte pingul me planin vektori drejtues i drejtezes eshte paralel me vektorin pingul te planit. $\frac{m}{2}+\frac{n}{-4}=\frac{6}{3}=2\Rightarrow&space;m=4\wedge&space;n=-8\Rightarrow&space;m+n=-4$

4.Te shkruhet ekuacioni i planit qe kalon nga pika A(-1,2,-3) dhe eshte paralel me vektoret: $\vec{a}=\begin{pmatrix}&space;2\\&space;-3\\&space;0&space;\end{pmatrix}$ , $\vec{b}=\begin{pmatrix}&space;-1\\&space;2\\&space;4&space;\end{pmatrix}$

zgjidhje

Menyra e pare: meqe plani eshte paralel me dy vektoret kjo do te thote se ai do te jete pingul me prodhimin vektorial te tyre. Keshtu do te gjejme $\vec{a}X\vec{b}$ dhe pastaj ekuacionin e planit qe kalon nga nje pike e dhene pingul me nje vektor te dhene.

Menyra e dyte: Le te jete M(x;y;z) nje pike e çfardoshme e planit te kerkuar. Vektoret    $\overrightarrow{AM},\vec{a},&space;\vec{b}$   jane bashkeplanare kjo do te thote se percaktori: $\left&space;|&space;\begin{matrix}&space;x+1&space;&2&space;&-1&space;\\&space;y-2&&space;-3&space;&&space;2\\&space;z+3&space;&0&space;&&space;4&space;\end{matrix}&space;\right&space;|=0\Leftrightarrow&space;-12(x+1)+4(z+3)-3(z+3)-8(y-2)=0\Leftrightarrow&space;-12x-12+z+3-8y+16=0\Leftrightarrow&space;12x+8y-z-7=0$

0

Konsultimet Mat avancuar 20/1 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

**Numri $\left&space;(&space;\vec{a}X\vec{b}&space;\right&space;)\cdot&space;\vec{c}$   quhet prodhim i perzier i tre vektoreve.

**Kur vektoret jepen ne kordinata prodhimi i perzier gjendet duke llogaritur percaktorin qe ka per shtylla kordinatat e tre vektoreve.

**Vlera absolute e prodhimit te perzier te tre vektoreve eshte e barabarte me vellimin e paralelopipedit te ndertuar mbi keta vektore.

**VO Nese vektoret jane ne te njejtin plan atehere nuk formohet paralelopiped, prandaj prodhimi do te jete zero.

**KNM Qe tre vektore te jene bashkeplanare eshte qe prodhimi i perzier i tyre te jete zero.

1.Te gjendet vellimi i piramides me kulme  A(2;1;-2), B(3;3;3), C(1;1;2) dhe D(-1;-2;-3)

zgjidhje

Vellimi i piramides do te jete sa 1/6 e vellimit te paralelopipedit te ndertuar mbi vektoret AB, AC, AD.

$\overrightarrow{AB}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;1\\&space;2\\&space;5\end{matrix}&space;\right&space;)$     $\overrightarrow{AC}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-1\\&space;0\\&space;4\end{matrix}&space;\right&space;)$    $\overrightarrow{AD}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-3\\&space;-3\\&space;-1\end{matrix}&space;\right&space;)$   Llogaritim prodhimin e perzier (percaktorin)

2.$\left&space;|&space;\begin{matrix}&space;1&space;&&space;-1&space;&-3&space;\\&space;2&&space;0&space;&&space;-3\\&space;5&&space;4&space;&&space;-1&space;\end{matrix}&space;\right&space;|=0+15-24+0-2+12=1\Rightarrow&space;V=\frac{1}{6}$

2.Jepen vektoret $\vec{a}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-1\\&space;1\\&space;2&space;\end{matrix}&space;\right&space;)$  dhe  $\vec{b}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;0\\&space;1\\&space;3&space;\end{matrix}&space;\right&space;)$  . Te gjenden kordinatat e vektorit $\vec{c}$  i cili eshte pingul me dy vektoret dhe ka gjatesine $\left&space;|\vec{c}&space;\right&space;|=2\sqrt{11}$

udhezim

Vektori i kerkuar do te jete bashkevijor me vektorin prodhim vektorial te dy vektoreve $\vec{a}$  dhe $\vec{b}$ , gjejme kordinatat m,n,p te prodhimit vektorial. Vektori $\vec{c}$ do te kete kordinatat mx,ny,pz shfrytezojme gjatesine  dhe gjejme k. $2\sqrt{11}=\sqrt{(km)^{2}+(kn)^{2}+(kp)^{2}}$ .

3.Te shkruhet ekuacioni i planit ne te cilin pika M(3;-1;0) eshte projeksion i pikes N(4;2;-2) ne kete plan.

zgjidhje

**Ekuacioni ax+by+cz+d=0 eshte ekuacioni i pergjithshem i planit. Vektori $\vec{n}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;a\\&space;b\\&space;c&space;\end{matrix}&space;\right&space;)$  eshte vektori pingul i planit. Prandaj per te gjetur ekuacionin e nje plani na duhet nje vektor pingul dhe nje pike e planit.

Ne rastin konkret pika M eshte pike e planit ndersa vektori MN eshte vektor pingul me planin.  $\overrightarrow{MN}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;1\\&space;3\\&space;-2&space;\end{matrix}&space;\right&space;)$  Ekuacioni i planit ka trajten x+3y-2z+d=0. Pika M eshte pike e planit prandaj kordinatat e saj vertetojne ekuacionin.  $3+3\cdot&space;(-1)-2\cdot&space;0+d=0\Rightarrow&space;d=0$  Ekuacioni eshte $x+3y-2z=0$

4.Te shkruhet ekuacioni i planit   $2x-3y+4z-12=0$  ne segmente.

zgjidhje

** ( $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1$  eshte ekuacioni i planit ne segmente. m,n,p tregojne kordinatat respektive te prerjes se tij me boshtet kordinative)

Shnderrojme ekuacionin $2x-3y+4z=12\Leftrightarrow&space;\frac{2x}{12}+\frac{3y}{-12}+\frac{4z}{12}=1\Leftrightarrow&space;\frac{x}{6}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{3}=1$ .Pkat e prerjes me boshtet kordinative kane kordinata: (6;0;0), (0;-4;0),(003).

0

Konsultimet Mat avancuar 20 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Jepet trekendeshi me kulme A(2;1;1), B(3;-2;2) dhe C(0;3;-1). Te gjendet gjatesia e mesores BM.

zgjidhje

Gjejme kordinatat e pikes M mesi i AC.  $x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+0}{2}=1$,   $y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+3}{2}=2$$z_{M}=\frac{z_{A}+z_{C}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0$  .  M(1;2;0).   Gjejme vektorin $\overrightarrow{BM}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;1-3\\&space;2+2\\&space;0-2\end{matrix}&space;\right&space;)=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-2\\&space;4\\&space;-2\end{matrix}&space;\right&space;)$  , gjejme gjatesine e tij.  $\left&space;|&space;\overrightarrow{BM}&space;\right&space;|=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$  .

2.Jepen vektoret  $\vec{u}$ dhe $\vec{v}$ , te tille qe $\left&space;|&space;\vec{u}-\vec{v}&space;\right&space;|^{2}=\left&space;|&space;\vec{u}&space;\right&space;|^{2}+\left&space;|&space;\vec{v}&space;\right&space;|^{2}$  . Te vertetohet se keta vektore jane pingule.

zgjidhje

$\left&space;|&space;\vec{u}-\vec{v}&space;\right&space;|^{2}={\left&space;(&space;\vec{u}-\vec{v}&space;\right&space;)^{2}}={\vec{u}^{2}-2\cdot&space;\vec{u}\cdot&space;\vec{v}+\vec{v}^{2}}$    sjell ${\vec{u}^{2}-2\cdot&space;\vec{u}\cdot&space;\vec{v}+\vec{v}^{2}}=\vec{u}^{2}+\vec{v}^{2}$   katrori numerik i vektorit eshte i barabarte me katrorin e gjatesise se tij.  Prandaj kemi  $-2\cdot&space;\vec{u}\cdot&space;\vec{v}=0\Rightarrow&space;\vec{u}\cdot&space;\vec{v}=0\Rightarrow&space;\vec{u}\perp&space;\vec{v}$

3.Jepet $\left&space;|&space;\vec{a}&space;\right&space;|=2$  , $\left&space;|&space;\vec{b}&space;\right&space;|=5$  dhe  $\vec{a}\cdot&space;\vec{b}=-5$  . Gjeni   $\left&space;|\vec{a}X&space;\vec{b}&space;\right&space;|$   (gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre)

zgjidhje

$2\cdot&space;5\cdot&space;cos\alpha&space;=-5\Rightarrow&space;cos\alpha&space;=-\frac{1}{2}\Rightarrow&space;sin\alpha&space;=\sqrt{1-\left&space;(&space;-\frac{1}{2}&space;\right&space;)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$      atehere  $\left&space;|&space;\vec{a}X\vec{b}&space;\right&space;|=2\cdot&space;5\cdot&space;\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$

4.Te gjendet siperfaqja e trekendeshi me kulme  A(3;4;-1), B(2;0;3)  dhe C(-3;5;4)

zgjidhje

**Siperfaqja e paralelogramit te ndertuar mbi dy vektore eshte e barabarte me gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre.  VO Nese vektoret jane bashkevijore nuk formohet paralelogram ne kete rast prodhimi vektorial eshte i barabarte me vektorin zero. Ndryshe KNM qe dy vektore te jene bashkevijore eshte qe prodhimi vektorial i tyre te jete vektori zero.

Ne rastin tone siperfaqja e trekendeshitdo te jete gjysma e siperfaqes se paralelogramit. Gjejme vektoret $\overrightarrow{AB}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-1\\&space;-4\\&space;4\end{matrix}&space;\right&space;)$  $\overrightarrow{AC}=\left&space;(&space;\begin{matrix}&space;-6\\&space;1\\&space;5\end{matrix}&space;\right&space;)$

**Prodhimi vektorial i dy vektoreve kur jane dhene kordinatat e tyre gjendet duke llogaritur percaktorin ne te cilin ne shtyllen e pare vendosen vektoret njesi ndersa ne dy shtyllat tjera perkatesisht kordinatat e dy vektoreve.

$\overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC}&space;=\left&space;|&space;\begin{matrix}&space;\vec{i}&space;&&space;-1&space;&&space;-6\\&space;\vec{j}&&space;-4&space;&&space;1\\&space;\vec{k}&&space;4&space;&&space;5&space;\end{matrix}&space;\right&space;|=-20\vec{i}-24\vec{j}-\vec{k}-24\vec{k}+5\vec{j}-4\vec{i}=-24\vec{i}-19\vec{j}-25\vec{k}$

$S=\frac{1}{2}\left&space;|&space;\overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC}&space;\right&space;|=\frac{1}{2}\sqrt{(-24)^{2}+(-19)^{2}+(-25)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{1562}$

0

Konsultimet Mat avancuar 19 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Drejtekendeshi ABCD me brinje AB=6cm dhe BC=8cm perthyhet sipas diagonales AC ne menyre qe planet (ACB) dhe (ACD) te jene pingule. Gjeni largesen e re midis pikave B dhe D.

zgjidhje

Mbi diagonalen AC hiqen lartesite nga kulmet D dhe B. Kembet e ketyre pinguleve i shenojme perkatesisht F dhe E.  [BE] eshte pingul me planin (ADC) prandaj eshte pingul me [DE]. Duke perdorur teoremen e Pitagores gjejme AC=10.  Gjejme siperfaqen e trekendeshit ADC. $S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot&space;6\cdot&space;8=24.$  Nga ana tjeter    $S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot&space;AC\cdot&space;DF$  gjejme $DF=BE=\frac{24}{5}$.   Gjejme FC ne trekendeshin DFC  (T. Pitagores) . $FC=AE=\frac{18}{5}$   nga ku$EF=AC-AE-FC=\frac{14}{5}$  . Ne trekendeshin DEF gjejme $DE^{2}=EF^{2}+DF^{2}$.  Ne trekendesin BDE kenddrejte ne E gjejme BD.  $BD^{2}=DE^{2}+BE^{2}=EF^{2}+DF^{2}+BE^{2}$

2. Baza e piramides trekendore SABC eshte trekendesh dybrinjenjeshemABC, ku AB=AC=10cm dhe BC=12cm. Te gjitha faqet anesore te piramides kane lartesi qe dalin nga kulmi S te barabarta me 20cm. Gjeni lartesine e piramides.

zgjidhje

Ne trekendeshin e bazes ABC gjejme $p=\frac{10+10+12}{2}=16$  dhe  $S=\sqrt{16\cdot&space;6\cdot&space;6\cdot&space;4}=48$  (Formula e Heronit). Ndertojme SO pingul me planin e trekendeshit.  SE=SF=SK  jane te pjerrta per planin e trekendeshit. Te pjerrta te barabarta kane projeksione te barabarta prandaj OE=OF=OK.  Nga ana tjeter  OE, OF, OK jane pingul perkatesisht me brinjet e trekendeshit (teorema e 3 pinguleve  $SF&space;\perp&space;AB\Rightarrow&space;OF\perp&space;AB$)  kjo do te thote se O eshte qendra e rrethit brendashkruar trekendeshit ABC.  Ne formulen $S=p\cdot&space;r$  gjejme  $r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3$  . Ne trekendeshin SOF gjejme SO me teoremen e Pitagores….

3.Jepet rrethi me diameter AB. Nga skaji A hiqet tangjentja e rrethit, kurse nga skaji B hiqet nje drejtez qe formon kendin 300 me diametrin dhe pret rrethin ne C, kurse tangjenten ne P. Jepet PA=3cm. Gjeni BC.

zgjidhje

PB=6cm (perballe kendit 300).  $PA^{2}=PC\cdot&space;PB\Rightarrow&space;9=(6-x)\cdot&space;6\Rightarrow&space;x=\frac{9}{2}$

4.Katetet e nje trekendeshi kenddrejte jane 15 dhe 20 cm. Nje plan kalon nga hipotenuza dhe formon me planin e trekendeshit kendin 300.  Gjeni largesen e kulmit te kendit te drejte te trekendeshit nga plani.

udhezim

Gjejme hipotenuzen AB me teoreme te Pitagores. Gjejme lartesine e trekendeshit te hequr nga kulmi i kendit te drejte C duke shprehur siperfaqen e trekendeshit ne dy menyra. Ne fund ne trekendeshin kenddrejte COH  kateti CO eshte sa gjysma e hipotenuzes.

0

Konsultimet Mat avancuar 18 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Jepet rrethi me qender origjinen e kordinatave dhe me rreze 1 njesi. Gjeni bashkesine e pikave te planit nga te cilat ky rreth shihet ne kend te drejte.

zgjidhje

Ekuacioni i rrethit eshte $x^{2}+y^{2}=1$.  Le te jete M(x;y) pike e çfardoshme e  vendit gjeometrik te kerkuar.  Kendi BMA i drejte, nga ana tjeter MA=MB (tangjentet ndaj rrethit te hequra nga nje pike jashte tij jane te barabarta),  OA=OB=1   si rreze te rrethit. Katerkendeshi OAMB eshte katror.  $OM^{2}=OA^{2}+AM^{2}=1+1=2$  . Nga ana tjeter ne kordinata $OM^{2}=x^{2}+y^{2}$.   Kjo do te thote se kordinatat e pikes M plotesojne kushtin $x^{2}+y^{2}=2$  pra bashkesia e pikave te kerkuara eshte rrethi me qender O dhe rreze  $\sqrt{2}$.

2.Jane dhene pikat A(1;2) dhe B(3;4). Shkruani ekuacionet e dy drejtezave qe kalojne nga origjina e kordinatave dhe jane te baraslarguara nga pikat A dhe B.

Zgjidhje

Menyra e pare: Drejteza kalon nga origjina prandaj ekuacioni i saj ka formen $y=ax\Rightarrow&space;ax-y=0$. Shprehim largesat e pikave A dhe B nga drejteza.$d_{A}=\frac{\left&space;|&space;a-2&space;\right&space;|}{\sqrt{a^{2}+1}}$  ndersa $d_{B}=\frac{\left&space;|&space;3a-4&space;\right&space;|}{\sqrt{a^{2}+1}}$  . Dy largesat jane te barabarta  duke kryer shnderrimet marrim $\left&space;|&space;3a-4&space;\right&space;|=\left&space;|&space;a-2|\Rightarrow&space;3a-4=\pm&space;\left&space;(&space;a-2&space;\right&space;)$   nga ku gjejme  $a=1$  ose  $a=\frac{3}{2}$.  Ekuacionet e drejtezave jane  $y=x$   dhe  $y=\frac{3}{2}x$.

Menyra e dyte: Njera drejtez do te jete paralel me (AB), drejteza tjeter do te kaloje nga pika M mesi i [AB].  Kuptohet te dyja kalojne ne origjine te kordinatave. Shiko figuren dhe kryej veprimet.

3. Gjeni shumen $i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+.....+i^{2008}$.  (i njesia imagjinare $i=\sqrt{-1}$ )

zgjidhje

$i^{4k}=1,&space;i^{4k+1}=i,&space;i^{4k+2}=-1,&space;i^{4k+3}=-i$.    Shkruajme vargun ndryshe:  $\left&space;(&space;i+i^{3}+i^{5}+....i^{2005}+i^{2007}&space;\right&space;)+\left&space;(&space;i^{2}+i^{4}+i^{6}+....i^{2006}+i^{2008}&space;\right&space;)=\left&space;(&space;i-i+i-i+...+i-i&space;\right&space;)+\left&space;(&space;1-1+1-1+....+1-1&space;\right&space;)=0$       $i^{2008}=i^{4\cdot&space;502}=1$

4.Vlerat e nje tipari statistikor  jane $x_{1},x_{2},x_{3},&space;...,x_{k}$ ndersa efektivat perkatese jane  $n_{1},n_{2},n_{3},&space;...,n_{k}$.  Nese m eshte mesatarja aritmetike e kesaj shperndarje  tregono qe $n_{1}(x_{1}-m)+n_{2}(x_{2}-m)+n_{3}(x_{3}-m)+...+n_{k}(x_{k}-m)=0$  .

Shprehim mesataren $m=\frac{x_{1}\cdot&space;n_{1}+x_{2}\cdot&space;n_{2}+x_{3}\cdot&space;n_{3}+...+x_{k}\cdot&space;n_{k}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}}$.  Shumzojme m me emruesin , i kalojme te gjitha kufizat ne njeren ane dhe i grupojme  ……..etj.

0

0

Nexus 7. Gjenerata e dyte shume shpejt ne treg.

Në muajt e fundit po flitet për ardhjen e mundshme të një brezi të dytë për tabletin Nexus 7 , i cili i ka munguar Google I / O që nga maj 2013. Kjo nuk do të thotë, megjithatë, se grupi i Mountain View  braktisi projektin, duke pasur parasysh edhe pritjen e mirë të  produktit nga publiku në verë 2012 në bashkëpunim me ASUS.  Është kthyer me fjalë se do të dalë në treg që në korrik.

0

Interneti, ja sesi shumë shpejt do bëhet njësh me botën reale

“Centre of Microsystems” në Belgjikë ka projektuar lente që do të kenë funksione të njëjtë me “smartphone”-ët.

0

Google fton njerëz në programin Glass Explorer

Google Glass është një nga ato projektet që edhe deri para disa vitesh, nuk besohej se do të ishte i mundur.

Me anë të një postimi në Google +, motori i kërkimit tregon se do më shumë aplikantë të përfshihen në këtë projekt.

0

Shkollimi i lartë në internet

Interneti ka ndryshuar tashmë thellësisht botën e muzikës, industrinë e botimeve, gazetarinë, tregtinë dhe biznese të tjera. Një fushë tjetër që mund të pësojë transformim prej revolucionit dixhital është mësimdhënia në universitete. Tani, kolegjet amerikane po përballen me një “stuhi perfekte” problemesh, me kostot në rritje të shkollimit, mundësitë jo të shumta për të diplomuarit dhe me punëdhënësit që ankohen se nuk mund të gjejnë punonjës të mjaftueshëm me aftësitë teknike kryesore. Një zgjidhje mund të gjendet pikërisht tek rritja e numrit dhe e cilësisë së leksioneve në internet.

0

LaMP, mësoni një gjuhë të huaj me anë të filmave dhe titrave në YouTube

LaMP (Lingual Media Player) është një program i thjeshtë për të mësuar një gjuhë të re duke shikuar video, njëra nga rrugët më efikase për ta mësuar një gjuhë të huaj.

Programi paraqet titrat e gjuhës së huaj për ndonjë film të cilin e vendosni në lëshuesin mediatik ose videot që i zgjidhni nga YouTube.

Për ta përdorur LaMP, klikoni në folderin Video File për të hapur një video, pastaj shtoni skedarin me titra të cilat dëshironi t’i shihni (mund të gjendet në nënfolderin e folderit për gjuhët e videos). Ju mund të paraqitni dy palë titra në të njëjtën kohë: Për shembull, gjuha të cilën jeni duke e mësuar dhe gjuha juaj amtare. LaMP mbështet shumë gjuhë, nga arabishtja, e deri te gjuha vietnameze.