MATEMATIKË Archive

0

HISTORIA E NUMRAVE.

Ne jemi mësuar të përdorim të mirat e qytetërimit-automobilin, telefonin. Televizorin si dhe teknika të tjera që e bëjnë jetën tonë më të lehtë dhe interesante. Mijëra shpikje janë dashur për këtë , por më të rëndësishmet ndër  to ishin shpikjet e para , rrota dhe numri .

Pa to nuk do te ekzistonte i tërë qytetërimi ynë i mëdherishërishëm teknikKëto dy shpikje kanë një tipar të përbashkër, as rrota e as numri nuk ekzistojnë në natyrë, por eDHe njëri ehde tjetri janë fryt i veprimtarisë së arsyes njerëzore. Mund të duket se koncepti i numrit duhet të ketë lindur njëkohësisht me aftësinë e të numëruarit, por nuk është aspak kështu.

                                                  IMG_20140518_194938

Është vënë re se deri ne 5 dinë të numerojnë edhe macet edhe derrat, por që të kalohet nga pesë sende te numri pesë duhej bërë një zbulim i madh, dhe ja përse. Pesë qenë apo pesë derra nuk është e njejta gjë si pesë arra. Sepse pesë arra janë shumë pakl; i hengre dhe s’të vajtën as në një dhëmb, kurse dhe pesë derra janë shumë dhe  mjaftojë për të ushqyer  për një kohë të gjatë një familje të madhe. Pesë qen formojnë një tufë, e cila mund të të mbrojë nga kafshët e egra, kurse pesë pleshta në një qen është e vështirë ti dallosh me sy.

Vallë, a mund të krahasohen këto?

Udhëtari i famshëm rusa N.N. Mikluho-Maklai , që kaloi shumë vjet mes indigjenëve në ishujt e oqeanit të Qetë , vuri re disa  se disa fise kishim tri mënyra numërimi: për njerëzit, per kafshët dhe për orenditë , armet dhe sendet e tjera jofrymore. Domethënë , atje në atë kohë nuk ishte shfaqur ende koncepti  i numrit ; ata nuk e kuptonin që tri arra, tri dhi dhe tri fëmijë kanë një veti të përbashkët-sasia e tyre  ëshët e barabartë me tre.

Kështu pra u shfaqën numrat 1,2,3…. me të cilët mund të shprehet  sasia e lopëve në një tufë, e pemëve në kopësht, e flokëve në kokë. Këta numra më vonë morën emrin natyrorë. Mjaft më vonë u shfaq zeroja, me të cilën shënonin mungesën e objekteve të shqyrtuara.

Megjithëatë, këta numra nuk u mjaftonin zejtarëve dhe tregtarëve, sepse lindën probleme të ndarjes në pjesë të Tokës, të trashigimisë dhe të shumë gjërave të tjera. Kështu u shfaqën thyesat dhe rregullat e veprimeve me to. Tani për tregtarët dhe zejtarët numrat ishin të mjaftueshëm, por matematikanët e Greqisë së lashtë, të cilët nuk shprehen me kurrfarë thyese. Ipari numër i tillë ishte gjatësia e diagonales së katrorit brinja e të cilit është e barabartë me një. Kjo i cuditi kaq shumë pitagorianët, saqë ata e mbajtën të fshehtë këtë zbulim për një kohë të gjatë. Numrat e rinj i quajtën irracionalë. Historia e numrit nuk përfundon me kaq.

Matematikanët futën numrat negativë, të cilët ishin shumë të përshtatshëm për zgjidhjen e mjaft problemeve. U vu re , megjithëkëtë, në një varg rastesh lind nevoja  të gjendet një numër, katrori it ë cilit të jetë i barabartë me -1. Ndër numrat e njohur nuk kishte një numër të tillë prandaj atë e shënuan më gërmën i dhe e  quajtën njësh imagjinar.

                                             IMG_20140518_194956

Numrat e përftuar prej shumëzimit të numrave të njohur më parë me njëshin imagjinar, për shembull, 2i ose 3i/4  i quajtën imagjinarë , për ti dalluar nga numrat ekzistues, që zunë ti quanin realë , kurse shumat e numrave realë dhe imagjinarë të tilla si 5i+3, i quajtën numra kompleksë.

Burimi:Enciklopedi fëminore”Befasitë e Matematikës”.

0

SI NUMËROJMË?

 

Arti i numërimit është përsosur krahas zhvillimit të njerëzimit. Në atë kohë kur njeriu vetëm mblidhte fruta në pyll dhe gjuante, atij për numërimin i mjaftonin katër fjalë : një ,dy,tri dhe shumë. Pikërisht kështu numërojnë edhe tani disa fise  që jetojnë në xhunglat e Amerikës së Jugut. Megjithëatë, kur njerëzit filluan të merreshin me blegtori dhe bujqësi e kishin të nevojshme të numëronin dhitë në tufë , apo sasinë e shportave me fruta të pjekura(të cilat ishin më shumë se tre) të përgatitura për dimër

                                           .IMG_20140518_194726

 

U menduan jo pak mënyra numërimi: shënoheshin  vija të gdhendura në shkop sipas numrit të objekteve, lidheshin nyje në një litar mblidheshin në një grumbull gurë të vegjël.

                                            IMG_20140518_194752

Por shkopin me vija të gdhendura nuk e merr me vete, ashtu sic është dhe bezdi ti bartësh edhe gurët, kurse bariut i duhet të dijë mos i është ndarë ndonjë dhi nga tufa. Këtu na vijnë në ndihmë gishtat e duarve, një mjet i shkëlqyeshëm numërimi, të cilat përdoren edhe sot nga nxënësit.Po sikur të kishte më shumë se 10 sende? Natyrisht  mund të përdoren edhe gishtat e këmbëve, po pastaj? Nuk mbetej gjë tjetër veçse të mendohej sistemi dhjetor, të cilin e përdorim tani; numërojmë dhjetëshet, kur grumbullohen 10 dhjetëshe ato i quajmë qindëshe, pastaj 10 qindëshe janë një mijëshe.

 

Prejardhja’’gishtore’’ e sistemit dhjetor vërtetohet prej trajtës së shifrave latine: shifra romake(V) është pëllëmba me gishtin e madh të hapur anash, kurse shifra romake (X) janë dy duar të kryqëzuara. Jo të gjithë popujt ndoqën këtë rrugë, megjithëse përdornin të njëjtit gishtërinj.

Indianët e fisit Maja në Amerikë numëronin me pesëshe: një pesëshe është njësia e rendit pasues, pesë pesëshe është një njësi e re. Është e qartë se ata përdornin vetëm gishtërinjtë e njërës dorë.

                                  IMG_20140518_194816

Disa fise përdornin vetëm katër gishtat e njërës dorë, megjithëatë, kishin parasysh që çdo gisht përbëhet nga tre falanga , domethënë kishin në pozicion 12 objekte numërimi. Kështu lindi dyzina, e cila 100vjet më parë ishte e përhapur gjerësisht në Evropë, por dalëngadalë ia lëshoi vendin dhjetëshes. Edhe sot e kësaj ditë ne Evropë me dyzina numërojmë kopsat, shamitë e hundevë , vezët dhe shumë sende të tjera që shiten me copë.

Të gjithë e dinë se një mijë mijëshe quhen në milion, por pakkush e di si quhen rendet që vijojnë. Për emertimet e tyre janë pranuar emërtimet latine të numrave. Një mijë milion quhet një bilion ose një miliard. Një mijë miliarda domethënë 1000.000.000.000 bëjnë një trilion,  pastaj 1000.000.000.000.000 bëjnë një kuadrilion, më tej kuintilion, sekstiolion, septilion, oktilion, nonilion, decilion. Çdo njësi e rendit pasues përmban një mijë njësi të rendit të mëparshëm.

                                                    IMG_20140518_194849

Të gjithë numrat është e pamundur ti numërosh, përderisa pas çdo numri vjen një tjetër, një njësi më i madh, megjithëatë në jetën e përditshme nuk duhen numra shumë të mëdhenj. Numrat e mëdhenj lindin në astronomi prandaj thonë shpesh ‘’numra astronomikë’’, sepse masat e yjeve dhe largësitë midis tyre Shprehen me të vërtetë me numra të mëdhenj.

                                                 IMG_20140518_194901

Por fizikanët kanë llogaritur se sasia e atomeve –  pjesëzave më të vogla të lëndës, në mbarë gjithësinë nuk e kalon numrin që shprehet me një njësh dhe me 100 zero pas. Ky numër ka marrë një emërtim të veçantë-gugo!

Burimi:Enciklopedi fëminore”Befasitë e Matematikës”.

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Ushtrime të zgjidhura PDF

zgjidhja e trekendeshit1Ushtrime të dhëna në minitest për zgjidhjen e trekëndëshit. Zgjidhjet në PDF mund ti shkarkoni KËTU. 

Variante të ndryshme të gjetjes së elementeve të trekëndëshit kur njihen disa prej tyre.

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Dy shembuj të zgjidhur.

Të zgjidhësh një trekëndësh do të thotë të gjesh elementet e panjohura të tij.

Ushtrim 1

zgjidhja e trekendeshit1Zgjidhni trekëndëshin kur: a=14,5cm; β=480; γ=64

zgjidhje

Fillimisht gjejmë këndin α=1800-(480+640)=680. Me anë të teoremës së sinusit gjejmë  b dhe c. \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }\Rightarrow \frac{14,5}{sin68^{0}}=\frac{b}{sin48^{0}}=\frac{c}{sin64^{0}}  nga ku b=\frac{14,5\cdot sin48^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,7431}{0,9272}\approx 11,62cm.  c=\frac{14,5\cdot sin64^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,8988}{0,9272}\approx 14cm

Ushtrim 2

Zgjidhni trekëndëshin kur: a=110m; b=800m; γ=420 .

Zgjidhje 

Fillimisht gjejmë c me teoremën e kosinusit c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\gamma =110^{2}+800^{2}-2\cdot 110\cdot 800\cdot 0,7431\approx 521314\Rightarrow c\approx 722m. Duke përdorur teoremën e sinusit shkruajmë: sin\alpha =\frac{a\cdot sin\gamma }{c}=\frac{110\cdot 0,6691}{722}=0,1019\Rightarrow \alpha \approx 6^{0}sin\beta =\frac{b\cdot sin\gamma }{c}=\frac{800\cdot 0,6691}{722}=0,7413\Rightarrow \beta \approx 132^{0}

0

Trigonometri. Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime.

1.Vërtetoni identitetin: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =1

Shndërrojmë anën e majtë: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =[sin\alpha -cos\alpha ]^{2}+cotg\alpha -cotg\alpha +2cos\alpha \cdot sin\alpha =sin^{2}\alpha -2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha =sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1

2.Për ç’vlerë të këndit α shprehjet e mëposhtme nuk kanë kuptim.

a)\frac{1}{1-sin\alpha }; b)\frac{cos\alpha }{1-cos\alpha }; c)\frac{2}{tg\alpha -1}

Do të zgjidhim ekuacionet: 1-sin\alpha =0; 1-cos\alpha =0; tg\alpha -1=0

trigonometri43.Në figurë është ndërtuar trekëndëshi këndgjerë ABC dhe lartësia e tij CH. Provoni teoremën e kosinusit edhe në rastin e këndit të gjerë.

a^{2}=BH^{2}+CH^{2}\frac{CH}{b}=sin(180-\alpha )=sin\alpha \Rightarrow CH=b\cdot sin\alpha

\frac{AH}{b}=cos(180-\alpha )=-cos\alpha \Rightarrow AH=-b\cdot cos\alpha

a^{2}=(AH+AB)^{2}+CH^{2}=(c-bcos\alpha )^{2}+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}-2bc\cdot cos\alpha +b^{2}cos^{2}\alpha+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}+b^{2}(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )-2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha

trigonometri54.Brinjët e trekëndëshit ABC janë AB=10cm, AC=12cm dhe BC=14cm. Gjeni kosinusin e këndit BAC. Gjeni gjatësinë e mesores BM. 

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha \Rightarrow 2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-a^{2}\Rightarrow cos\alpha= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{144+100-196}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{48}{240}=\frac{1}{5}

BM^{2}=c^{2}+(\frac{b}{2})^{2}-2\cdot c\cdot \frac{b}{2}\cdot cos\alpha =100+36-120\cdot \frac{1}{5}=112\Rightarrow BM=\sqrt{112}

0

Trigonometri. konceptet kryesore.

trigonometri1Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë.

1.sinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit përballë tij me hipotenuzën.

2.kosinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit anëshkruar tij me hipotenuzën.

3.tangenti i këndit alfa është është numri që jepet nga raporti i sinusit me kosinusin e tij.

4.kotangenti i këndit alfa është numri që jepet nga raporti i kosinusit me sinusin e tij.

trigonometri2Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në gjysëmrrethin trigonometrik.

1.sinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me ordinatën e pikës M

2.kosinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me abshisën e pikës M

Teorema e kosinusit

Në çdo trekëndësh katrori i njërës brinjë është i barabartë me shumën e katrorëve të du brinjëve të tjera minus dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit ndërmjet.

Teorema e sinusit

Në çdo trekëndësh, raporti i sejcilës brinjë me sinusin e këndit përballë saj, është konstant i barabartë me diametrin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit.

trigonometri3Formula për sipërfaqen e trekëndëshit: 1) S=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot sin\alpha; 2)S=\frac{abc}{4R} ; (R rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit)

3)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}  (ku p është gjysma e perimetrit të trekëndëshit)

0

Bashkësia e vlerave të funksionit numerik. Udhëzime. Matematika X avancuar

Funksionet që njihen deri tani nga nxënësit e klasës së X janë funksioni linear, përpjestimor i zhdrejtë dhe trinom i fuqisë dytë. Çdo nxënës duhet të ketë parasysh grafikët e tyre dhe mënyrën e ndërtimit të tyre. 

Për të gjetur bashkësinë e vlerave (shëmbëllimeve) duhet të kemi parasysh bashkësinë e përcaktimit të tyre, e cila mund të jetë R ose nënbashkësi e R e dhënë. Në shumë problema praktik duhet ta gjejmë vetë në varësi të kushteve të problemës, se çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja x.

Problem 1

Bashkesia e vlerave1Shuma e kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë është 14cm. Shprehni sipërfaqen e trekëndëshit në varësi të njërit katet x. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit S(x). Për ç’vlerë të x-it merret vlera më e madhe e S.

Zgjidhje.

Shënojmë njërin katet me x, kateti tjetër do të ketë gjatësinë 14-x dhe sipërfaqja e trekëndëshit do të jepet me formulën S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x) .  Nëse ky funksion nuk do të kishte kuptim praktik atëherë bashkësia e përcaktimit do të jetë e gjithë R(bashkësia e vlerave të lejuara të x-it). Mirpo ndryshorja x në këtë rast shpreh gjatësinë e njërit katet prandaj duhet të jetë më e madhe se zero. Nga ana tjetër edhe kateti tjetër 14-x duhet të jetë më i madh se zero, prandaj shkruajmë: \left\{\begin{matrix} x>0\\ 14-x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x<14 \end{matrix}\right.\Rightarrow E=]0;14[ . Zero dhe 14 nuk mund të jetë sepse nuk formohet trekëndësh.

Funksioni S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x)=7x-\frac{1}{2}x^{2} në gjithë R paraqet një parabolë me degë  poshtë dhe vlerën më të madhe e merr në kulmin e saj, prandaj në E do të jetë një pjesë e saj dhe llogjikisht x-i i kulmit do të jetë në E. x_{K}=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{2\cdot \frac{-1}{2}}=7. Në këtë rast trekëndëshi del dybrinjënjëshëm.

Problem 2

Bashkesia e vlerave2Nëse në një kopësht mbillen 20 pemë, sejcila prej tyre jep 60kg fruta në vit. Për çdo pemë të mbjellë tepër 20-tës prodhimi bie me 2 kg(në vit për pemë). Sa pemë duhet të mbjellim që të marrim prodhimin maksimal të tyre.

Udhëzim.

Shënojmë me x numrin e pemëve tepër numrit 20. Numri i pemëve do të jetë 20+x, kurse prodhimi për pemë do të jetë 60-2x. Funksioni jonë do të jetë P(x)=(20+x)(60-2x), i cili në R paraqet një parabolë me degë të kthyera poshtë. (shndërrojeni shprehjen). Kujdes tek bashkësia e përcaktimit sepse nuk mund të kemi 1,2 pemë. Nisuni nga fakti që edhe numri i pemëve edhe prodhimi  është pozitiv.

Problem 3

Bashkesia e vlerave3Kur çmimi i një bilete kinemaje është x lekë, numri i spektatorëve është 400-x. Shprehni arkëtimin si funksion të x-it. Gjeni bashkësinë e përcaktimit(vlerave të mundshme të x-it). Për ç’vlerë të x-it arkëtimi maksimal.

Udhëzim

A(x)=x(400-x) . Kemi parasysh që x është numër i plotë jonegativ. Pastaj zgjidhja do të jetë si tek rastete mësipërme.

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi. Zgjidhja

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Zgjidhja Zgjidhja e testit: KËTU  rryma

Ndjesë për vonesën. Arsyeja e ndërprerjes së RRYMËS.

Nëse nuk mund ta shikoni dokumentin shkarkoni adobe reader

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi.

Grupi…

1-Zgjidhni ekuacionet:

ekuac 1

 

 

 

 

 

2-Studioni shenjën e trinomit: 10x-x2    3pikë

3-Zgjidhni inekuacionin: (x2-6x+8)(x-2)≤0  në N.  4pikë

4-Zgjidhni sistemet e ekuacioneve dhe inekuacioneve:

ekuac 2

 

 

 

 

 

5-Për cilat vlera të m bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit mx2 -3x-1<0 është R.  3pikë

Zgjidhjet i gjeni KËTU

0

Pse truri e koncepton matematikën si të bukur?

 2 3

Skanimi i trurit tregoi që disa ushtrime matematikore mund të shkaktojnë të njëjtën ndjenjë bukurie apo kënaqësie si kryeveprat artistike apo muzika e kompozitorëve të mëdhenj.  Matematicienëve iu dhanë për të zgjidhur ekuacione të bukura dhe mjaft zbavitëse dhe ekuacione të lodhshme dhe shumë të vështira  dhe në të njëjtën kohë truri po u skanohej.Në përfundim, të njëjtat qëndra të trurit që aktivizohen përballë një pikture apo muzike të bukur, aktivizoheshin edhe përballë “ekuacioneve të vështira por të bukura” matematikore. 

Studimi u krye nga Universiteti Collage i Londrës dhe studiuesit thanë se  rezultati sugjeron se mund të ketë një lidhje neurobiologjike bazë për bukurinë.  15 matematicienëve iu dhanë 60 formula matematikore për t’i klasifikuar ato.  Një nga studiuesit  Prof Semir Zeki tha për BBC News:” Kur shikon një ekuacion, në punë përfshihen shumë zona të trurit, por kur një formulë vlerësohet si e bukur , aktivizohet emocioni i trurit, lobi frontal, njësoj si të shohësh një pikturë të famshme apo të dëgjosh një kryevepër muzikore”.

“Neuroshkenca nuk mund të tregojë se cfarë është e bukur dhe cfarë jo për ju, por mund të tregojë pjesën e trurit që përfshihet në këtë vlerësim dhe në varësi të personave, bukuria gjendet në gjithcka”, tha profesor Zeki. 

Burimi:http://www.bbc.co.uk/

0

Ekuacione të thjeshta irracionale. Që përmbajnë vetëm një rrënjë.

Mënyra e zgjidhjes së ekuacioneve të thjeshta irracionale.

Hapat

  1. Në njërën anë të ekuacionit kalojmë kufizën që përmban rrënjën, kufizat tjera i kalojmë në anën tjetër.
  2. Ngrejmë dy anët në fuqi sa është treguesi i rrënjës dhe zgjidhim ekuacionin që përftohet.
  3. Bëjmë provën për sejcilën nga rrënjët.

Shembull

ekuacion irracional

0

Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.

  • Kur shumëzojmë ose pjesëtojmë dy anët e ekuacionit me një shprehje me ndryshore mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.
  • Kur ngrejmë dy anët e ekuacionit në fuqi çift mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.

Ekuacioni \frac{f(x)}{g(x)}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=0\\ g(x)\neq 0 \end{matrix}\right.  kjo për rastin e parë. Për rastin e dytë pasi gjejmë rrënjët bëjmë provën.

Shembuj

  1. \frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} . Fillimisht gjejmë mjedisin (x\neq \pm 1) .Gjejmë emëruesin e përbashkët të tre thysave  2(x-1)(x+1) dhe shumëzojmë dy anët me të.\frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2}\Leftrightarrow 2(x-1)(x+1)\frac{x+1}{2(x-1)}=2(x-1)(x+1)\left ( \frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} \right )\Leftrightarrow (x+1)^{2}=2x(x+1)+(x-1)(7-2x)....etj                            Shkuani bashkësinë e zgjidhjeve.
  1. \sqrt{x}=-x ngrejmë në katror dy anët. \left ( \sqrt{x} \right )^{2}=\left ( -x \right )^{2}\Leftrightarrow x=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=1 .                                 Bëjmë provën dhe shohim që vetëm numri 0 është rrënjë.

Plotësoni formën e mëposhtme për pyetje të ndryshme.

0

Ekuacione në trajtë prodhimi. Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve.

  • Çdo rrënjë e ekuacionit f(x)\cdot g(x)=0  është rrënjë e f(x) ose e g(x) d.m.th f(x)\cdot g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=0\vee g(x)=0
  • Çdo rrënjë e f(x)=0  për të cilën ka kuptim g(x) është rrënjë e f(x)\cdot g(x)=0.

Shembull

  1. x^{3}-4x=0\Leftrightarrow x(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}-4=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}=4\Leftrightarrow x=0\vee x=-2\vee x=2                   Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;0;2}

 

  1. 2x^{3}-4x^{2}+3x-6=0\Leftrightarrow 2x^{2}(x-2)+3(x-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(2x^{2}+3)=0\Leftrightarrow x-2=0\vee 2x^{2}+3=0.....etj

 

  1. (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0 . Fillimisht gjejmë mjedisin (vlerat e lejuara të ndryshores) 4-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\leq 4\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2\Leftrightarrow x\epsilon [-2;2] . E zgjidhim: (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow 2x-6=0\vee \sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow x=3\vee x=\pm 2 .                              Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;2}. Numri 3 nuk bën pjesë në mjedisin e ekuacionit.

Mund të pyesni për ushtrime të ndryshme duke plotësuar formën më poshtë.

0

Ekuacionet trinom. Ushtrime.

ekuacion1Ekuacionet e formës  ax2n+bxn+c=0 quhen ekuacione trinom. Ato zgjidhen duke zëvendësuar xn=t dhe zgjidhur ekuacionin at2+bt+c=0. Në fund kthehemi tek zëvendësimi. Kur n=2 kemi ekuacon bikuadrat.

Shembull: 

x10-31x5-32=0. zëvendësojmë x5=t. marrim t2-31t-32=0.Gjejmë dallorin pastaj me anë të formulës gjejmë  t1=-1 dhe t2=32. Zëvendësojmë  x5=-1 nga ku x=-1 dhe x5=32 nga ku x=2. Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit është A={-1;2}. 

Ushtrim

Zgjidhni ekuacionet:

a)(x^{2}-x)^{2}=4 . Zëvendësojmë x^{2}-x=t nga ku t^{2}=4\Rightarrow t=2\vee t=-2 . Shkojmë tek zëvendësimi dhe marrim dy ekuacione: x^{2}-x=2\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0  dhe x^{2}-x=-2\Leftrightarrow x^{2}-x+2=0 . I zgjidhim duke gjetur dallorin dhe gjejmë rrënjët:  -1 dhe 2 për të parin ndërsa i dyti nuk ka zgjidhje sepse dallori është negativ. Bashkësia e zgjidhjeve A={-1;2}

b)(x^{2}+2x)^{2}-14(x^{2}+2x)-15=0 . Zëvendësojmë  x^{2}+2x=t  marrim ekuacionin t^{2}-14t-15=0 dhe veprojmë si tek shembulli më sipër.

c)  4\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{4}-5\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+1=0 .  Fillimisht përcaktojmë mjedisin e ekuacionit (vlerat e lejuara të ndryshores x) që është R*. Zëvendësojmë \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=t dhe kemi 4t^{2}-5t+1=0  nga ku t_{1}=\frac{1}{4}  dhe  t_{2}=1 .  Shkojmë tek zëvendësimi:  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \frac{1}{2}  ose  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm 1 . Zgjidhim 4 ekuacionet:

x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}+x+2=0

x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-x+2=0

x+\frac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x^{2}+x+1=0

x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x+1=0  …. .

Nëse keni ndonjë pyetje  parashtrojeni tek formulari më poshtë.

0

Funksioni dhe vargu numerik. Model testi për kapitullin. Zgjidhja.

Zgjidhjet e ushtrimeve. TESTI

0

Function and numerical sequence

progresioni gjeometrik1Find the domain of the function: Read the rest of this entry »

0

Ushtrime. Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e n-të.

Ushtrim 1progresioni gjeometrik

Shkruani formulën e kufizës së n-të për progresionin gjeometrik  sinα, 3sinα, ……

y_{1}=sin\alpha ,q=\frac{3sin\alpha }{sin\alpha }=3\Rightarrow y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}=sin\alpha \cdot 3^{n-1}

Ushtrim 2

Në progresionin gjeometrik me 5 kufiza, kufiza e fundit është \frac{16}{27}. Gjeni kufizën e parë nëse herësi është -\frac{2}{3} .

q=-\frac{2}{3},y_{5}=\frac{16}{27} .  y_{5}=y_{1}\cdot q^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \frac{16}{81}\Rightarrow y_{1}=3 .

Ushtrim 3

Gjeni numrin e kufizave të progresionit gjeometrik në të cilin y_{1}=3,q=\frac{1}{2},y_{n}=\frac{3}{64} .

Shkruajmë formulën për kufizën e përgjithshme y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow \frac{3}{64}=3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}….etj.

Ushtrim 4

Tregoni nëse vargjet e mëposhtme janë progresione gjeometrike.  a) y_{n}=3\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{n},n\epsilon N.  b)y_{n}=5\cdot n,n\epsilon N.  c)y_{n}=\left ( -2 \right )^{n},n\epsilon N.

Vlersojmë raportin  \frac{y_{n}}{y_{n-1}}    , që të jetë progresion gjeometrik ky raport duhet të jetë numër.  c)\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{(-2)^{n}}{(-2)^{n-1}}=(-2)^{n-(n-1)}=-2   d.m.th është progresion gjeometrik me q=-2.

Ushtrim 5

Në progresionin gjeometrik gjeni y1 dhe q kur dihet se: \left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}\cdot q-y_{1}=-4\\ y_{1}\cdot q^{2}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}(q-1)=-4\\ y_{1}(q^{2}-1)=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{q^{2}-1}{q-1}=\frac{8}{-4}\Rightarrow q+1=-2\Rightarrow q=-3  zëvendësojmë tek njëri ekuacion tek hallka e tretë y_{1}(-3-1)=-4\Rightarrow y_{1}=1

(Nuk ka ndonjë metodë të caktuar për zgjidhjen e sistemeve. Tek hallka e tretë kemi pjesëtuar dy ekuacionet anë për anë. q≠1 dhe yn≠0)

0

Progresioni Aritmetik, Gjeometrik

Përkufizimet

Progresion aritmetik është vargu në të cilin NDRYSHESA e çdprogresiono kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR)

Progresion gjeometrik është vargu në të cilin RAPORTI i çdo kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR). Kuptohet se kufizat në këtë rast janë të ndryshme nga zero.

Kryesoret që duhet të dihen

Për të provuar nëse një varg është progresion aritmetik ose gjeometrik duhet të vlerësohet  DIFERENCA y_{n}-y_{n-1},  ose RAPORTI  \frac{y_{n}}{y_{n-1}} ,

Shembull: Jepet vargu y_{n}=5\cdot 3^{n+1} .  

y_{n}-y_{n-1}=5\cdot 3^{n+1}-5\cdot 3^{(n+1)-1}=5\cdot (3^{n+1}-3^{n})=5\cdot (3^{n}\cdot 3^{1}-3^{n})=5\cdot 3^{n}\cdot (3-1)=10\cdot 3^{n} .  Nuk është progresion aritmetik sepse për vlera të ndryshme të n DIFERENCA merr vlera të ndryshme, pra nuk është konstante.

\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{5\cdot 3^{n+1}}{5\cdot 3^{n}}=3^{n+1-n}=3=q . Është progresion gjeometrik sepse sido që të jetë n-ja RAPORTI është i barabartë me 3 , KONSTANT.

Për të treguar se nuk është progresion mund të veprohet edhe duke marrë dhe vlerësuar dy diferenca(raporte). Tek shembulli më sipër  y1=45, y2=175, y3=405.   y3-y2=230 ndërsa y2-y1=130

Formulat

Për progresionin Aritmetik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}+(n-1)d\\ S_{n}=\frac{y_{1}+y_{n}}{2}\cdot n \end{matrix}\right.

Për progresionin Gjeometrik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\\ S_{n}=y_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{matrix}\right.

Sn-shuma e n kufizave të para të progresionit. yn-kufiza e n-të e progresionit. y1-kufiza e parë. d-ndryshesa. q-herësi.

Për progresionet mund të arsyetojmë se kur janë rritëse ose zvogluese. (metoda tek vargjet)

Vargu konstant është edhe progresion aritmetik edhe gjeometrik. Pse?

0

Vargu numerik.

Vargjet numerike janë funksione me bashkësi përcaktimi bashkësinë e numrave natyrorë ose k-numrat e parë natyrorë. (Në rastin e parë vargu është i pafundëm, në të dytin i fundëm)

Shembull: 3, 5, 7, 9, 11, 13. Në këtë varg të fundëm në të cilin janë treguar gjithë kufizat kemi a_{1}=3, a_{2}=5..  Duke e parë si funksion E={1,2,3,4,5,6} kurse F={3,5,7,9,11,13}. 

Mënyrat e dhënies së vargut: Mënyra e parë është duke dhënë të gjitha kufizat e vargut (si tek shembulli më sipër)

Mënyra e dytë është dhënia me anë të një formule që shpreh lidhjen e çdo kufize të saj me treguesin psh a_{n}=5n-1 . Për të gjetur kufizën e dhjetë do të zëvendësojmë tek treguesi numrin 10  a_{10}=5\cdot 10-1=49

Mënyra e tretë mënyra rekurente në të cilën kufizat e vargut tregohen duke dhënë kufizën e parë dhe një formulë që jep lidhjen e çdo kufize me kufizën paraardhëse, psh \left\{\begin{matrix} a_{1}=4\\ a_{n}=5a_{n-1}+2 \end{matrix}\right..

Ushtrim 1

Tregoni 4 kufizat e para të vargut: y_{n}=\frac{n+2}{n}    Zgjidhje: y_{1}=\frac{1+2}{1}=3,  y_{2}=\frac{2+2}{2}=2y_{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3} , y_{4}=\frac{4+2}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} .

Ushtrim 2

Për vargun y_{n}=2^{n-1}  gjeni y_{n+1} , y_{n-1}y_{n}+1y_{n}-1 , \frac{1}{y_{n}} . Në vend të n zëvendësojmë n+1, n-1  etj.\frac{1}{y_{n}}=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}.

Ushtrim 3

vargu2Jepet vargu: y_{n}=n^{2}-9n\epsilon N. Paraqitni grafikisht 4 kufizat e para të vargut. Ndërtoni grafikun e funksionit y=x^{2}-9 në segmentin \left [ 1;4 \right ].

Krahasoni dy grafikët e ndërtuar.

vargu3

y_{1}=1^{2}-9=-8 , y_{2}=2^{2}-9=-5 , y_{3}=3^{2}-9=0 , y_{4}=4^{2}-9=7.

Grafiku ka vëtm 4 pika A(1;-8), B(2;-5), C(3;0) dhe D(4;7). Nërsa grafiku i funksionit y=x^{2}-9 është një pjesa AB e pashkëputur e parabolës. 

Grafiku i vargut është një bashkësi pikash në sistemin kordinativ të cilat kanë kordinatën e parë numër natyror.

Ushtrim 4

Jepet vargu y_{n}=n^{2}-1. Tregoni nëse janë kufiza të vargut numrat: 24, 98.

Që të jenë kufiza të vargut duhet të ekzistojë një n nga N e tillë që   y_{n}=24 dhe për tjetrën  y_{n}=98 y_{n}=98\Rightarrow n^{2}-1=98\Rightarrow n^{2}=99\Rightarrow n=\sqrt{99}\Rightarrow 98 nuk është kufizë e vargut sepse \sqrt{99}\notin N.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Detyrë Kontrolli

ngjashmeria30Detyra e kontrollit për nxënësit e klasave ta X-ta.Ngjashmëria e trekëndëshave. Pjestimi i polinomit me x-c. Kliko KËTU për të parë ushtrimet sipas grupeve.   

Zgjidhja GRUPI A. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI B. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI C. Kliko KËTU