MATEMATIKA X Archive

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Ushtrime të zgjidhura PDF

zgjidhja e trekendeshit1Ushtrime të dhëna në minitest për zgjidhjen e trekëndëshit. Zgjidhjet në PDF mund ti shkarkoni KËTU. 

Variante të ndryshme të gjetjes së elementeve të trekëndëshit kur njihen disa prej tyre.

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Dy shembuj të zgjidhur.

Të zgjidhësh një trekëndësh do të thotë të gjesh elementet e panjohura të tij.

Ushtrim 1

zgjidhja e trekendeshit1Zgjidhni trekëndëshin kur: a=14,5cm; β=480; γ=64

zgjidhje

Fillimisht gjejmë këndin α=1800-(480+640)=680. Me anë të teoremës së sinusit gjejmë  b dhe c. \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }\Rightarrow \frac{14,5}{sin68^{0}}=\frac{b}{sin48^{0}}=\frac{c}{sin64^{0}}  nga ku b=\frac{14,5\cdot sin48^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,7431}{0,9272}\approx 11,62cm.  c=\frac{14,5\cdot sin64^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,8988}{0,9272}\approx 14cm

Ushtrim 2

Zgjidhni trekëndëshin kur: a=110m; b=800m; γ=420 .

Zgjidhje 

Fillimisht gjejmë c me teoremën e kosinusit c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\gamma =110^{2}+800^{2}-2\cdot 110\cdot 800\cdot 0,7431\approx 521314\Rightarrow c\approx 722m. Duke përdorur teoremën e sinusit shkruajmë: sin\alpha =\frac{a\cdot sin\gamma }{c}=\frac{110\cdot 0,6691}{722}=0,1019\Rightarrow \alpha \approx 6^{0}sin\beta =\frac{b\cdot sin\gamma }{c}=\frac{800\cdot 0,6691}{722}=0,7413\Rightarrow \beta \approx 132^{0}

0

Trigonometri. Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime.

1.Vërtetoni identitetin: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =1

Shndërrojmë anën e majtë: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =[sin\alpha -cos\alpha ]^{2}+cotg\alpha -cotg\alpha +2cos\alpha \cdot sin\alpha =sin^{2}\alpha -2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha =sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1

2.Për ç’vlerë të këndit α shprehjet e mëposhtme nuk kanë kuptim.

a)\frac{1}{1-sin\alpha }; b)\frac{cos\alpha }{1-cos\alpha }; c)\frac{2}{tg\alpha -1}

Do të zgjidhim ekuacionet: 1-sin\alpha =0; 1-cos\alpha =0; tg\alpha -1=0

trigonometri43.Në figurë është ndërtuar trekëndëshi këndgjerë ABC dhe lartësia e tij CH. Provoni teoremën e kosinusit edhe në rastin e këndit të gjerë.

a^{2}=BH^{2}+CH^{2}\frac{CH}{b}=sin(180-\alpha )=sin\alpha \Rightarrow CH=b\cdot sin\alpha

\frac{AH}{b}=cos(180-\alpha )=-cos\alpha \Rightarrow AH=-b\cdot cos\alpha

a^{2}=(AH+AB)^{2}+CH^{2}=(c-bcos\alpha )^{2}+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}-2bc\cdot cos\alpha +b^{2}cos^{2}\alpha+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}+b^{2}(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )-2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha

trigonometri54.Brinjët e trekëndëshit ABC janë AB=10cm, AC=12cm dhe BC=14cm. Gjeni kosinusin e këndit BAC. Gjeni gjatësinë e mesores BM. 

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha \Rightarrow 2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-a^{2}\Rightarrow cos\alpha= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{144+100-196}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{48}{240}=\frac{1}{5}

BM^{2}=c^{2}+(\frac{b}{2})^{2}-2\cdot c\cdot \frac{b}{2}\cdot cos\alpha =100+36-120\cdot \frac{1}{5}=112\Rightarrow BM=\sqrt{112}

0

Trigonometri. konceptet kryesore.

trigonometri1Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë.

1.sinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit përballë tij me hipotenuzën.

2.kosinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit anëshkruar tij me hipotenuzën.

3.tangenti i këndit alfa është është numri që jepet nga raporti i sinusit me kosinusin e tij.

4.kotangenti i këndit alfa është numri që jepet nga raporti i kosinusit me sinusin e tij.

trigonometri2Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në gjysëmrrethin trigonometrik.

1.sinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me ordinatën e pikës M

2.kosinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me abshisën e pikës M

Teorema e kosinusit

Në çdo trekëndësh katrori i njërës brinjë është i barabartë me shumën e katrorëve të du brinjëve të tjera minus dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit ndërmjet.

Teorema e sinusit

Në çdo trekëndësh, raporti i sejcilës brinjë me sinusin e këndit përballë saj, është konstant i barabartë me diametrin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit.

trigonometri3Formula për sipërfaqen e trekëndëshit: 1) S=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot sin\alpha; 2)S=\frac{abc}{4R} ; (R rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit)

3)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}  (ku p është gjysma e perimetrit të trekëndëshit)

0

Bashkësia e vlerave të funksionit numerik. Udhëzime. Matematika X avancuar

Funksionet që njihen deri tani nga nxënësit e klasës së X janë funksioni linear, përpjestimor i zhdrejtë dhe trinom i fuqisë dytë. Çdo nxënës duhet të ketë parasysh grafikët e tyre dhe mënyrën e ndërtimit të tyre. 

Për të gjetur bashkësinë e vlerave (shëmbëllimeve) duhet të kemi parasysh bashkësinë e përcaktimit të tyre, e cila mund të jetë R ose nënbashkësi e R e dhënë. Në shumë problema praktik duhet ta gjejmë vetë në varësi të kushteve të problemës, se çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja x.

Problem 1

Bashkesia e vlerave1Shuma e kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë është 14cm. Shprehni sipërfaqen e trekëndëshit në varësi të njërit katet x. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit S(x). Për ç’vlerë të x-it merret vlera më e madhe e S.

Zgjidhje.

Shënojmë njërin katet me x, kateti tjetër do të ketë gjatësinë 14-x dhe sipërfaqja e trekëndëshit do të jepet me formulën S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x) .  Nëse ky funksion nuk do të kishte kuptim praktik atëherë bashkësia e përcaktimit do të jetë e gjithë R(bashkësia e vlerave të lejuara të x-it). Mirpo ndryshorja x në këtë rast shpreh gjatësinë e njërit katet prandaj duhet të jetë më e madhe se zero. Nga ana tjetër edhe kateti tjetër 14-x duhet të jetë më i madh se zero, prandaj shkruajmë: \left\{\begin{matrix} x>0\\ 14-x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x<14 \end{matrix}\right.\Rightarrow E=]0;14[ . Zero dhe 14 nuk mund të jetë sepse nuk formohet trekëndësh.

Funksioni S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x)=7x-\frac{1}{2}x^{2} në gjithë R paraqet një parabolë me degë  poshtë dhe vlerën më të madhe e merr në kulmin e saj, prandaj në E do të jetë një pjesë e saj dhe llogjikisht x-i i kulmit do të jetë në E. x_{K}=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{2\cdot \frac{-1}{2}}=7. Në këtë rast trekëndëshi del dybrinjënjëshëm.

Problem 2

Bashkesia e vlerave2Nëse në një kopësht mbillen 20 pemë, sejcila prej tyre jep 60kg fruta në vit. Për çdo pemë të mbjellë tepër 20-tës prodhimi bie me 2 kg(në vit për pemë). Sa pemë duhet të mbjellim që të marrim prodhimin maksimal të tyre.

Udhëzim.

Shënojmë me x numrin e pemëve tepër numrit 20. Numri i pemëve do të jetë 20+x, kurse prodhimi për pemë do të jetë 60-2x. Funksioni jonë do të jetë P(x)=(20+x)(60-2x), i cili në R paraqet një parabolë me degë të kthyera poshtë. (shndërrojeni shprehjen). Kujdes tek bashkësia e përcaktimit sepse nuk mund të kemi 1,2 pemë. Nisuni nga fakti që edhe numri i pemëve edhe prodhimi  është pozitiv.

Problem 3

Bashkesia e vlerave3Kur çmimi i një bilete kinemaje është x lekë, numri i spektatorëve është 400-x. Shprehni arkëtimin si funksion të x-it. Gjeni bashkësinë e përcaktimit(vlerave të mundshme të x-it). Për ç’vlerë të x-it arkëtimi maksimal.

Udhëzim

A(x)=x(400-x) . Kemi parasysh që x është numër i plotë jonegativ. Pastaj zgjidhja do të jetë si tek rastete mësipërme.

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi. Zgjidhja

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Zgjidhja Zgjidhja e testit: KËTU  rryma

Ndjesë për vonesën. Arsyeja e ndërprerjes së RRYMËS.

Nëse nuk mund ta shikoni dokumentin shkarkoni adobe reader

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi.

Grupi…

1-Zgjidhni ekuacionet:

ekuac 1

 

 

 

 

 

2-Studioni shenjën e trinomit: 10x-x2    3pikë

3-Zgjidhni inekuacionin: (x2-6x+8)(x-2)≤0  në N.  4pikë

4-Zgjidhni sistemet e ekuacioneve dhe inekuacioneve:

ekuac 2

 

 

 

 

 

5-Për cilat vlera të m bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit mx2 -3x-1<0 është R.  3pikë

Zgjidhjet i gjeni KËTU

0

Ekuacione të thjeshta irracionale. Që përmbajnë vetëm një rrënjë.

Mënyra e zgjidhjes së ekuacioneve të thjeshta irracionale.

Hapat

  1. Në njërën anë të ekuacionit kalojmë kufizën që përmban rrënjën, kufizat tjera i kalojmë në anën tjetër.
  2. Ngrejmë dy anët në fuqi sa është treguesi i rrënjës dhe zgjidhim ekuacionin që përftohet.
  3. Bëjmë provën për sejcilën nga rrënjët.

Shembull

ekuacion irracional

0

Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.

  • Kur shumëzojmë ose pjesëtojmë dy anët e ekuacionit me një shprehje me ndryshore mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.
  • Kur ngrejmë dy anët e ekuacionit në fuqi çift mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.

Ekuacioni \frac{f(x)}{g(x)}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=0\\ g(x)\neq 0 \end{matrix}\right.  kjo për rastin e parë. Për rastin e dytë pasi gjejmë rrënjët bëjmë provën.

Shembuj

  1. \frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} . Fillimisht gjejmë mjedisin (x\neq \pm 1) .Gjejmë emëruesin e përbashkët të tre thysave  2(x-1)(x+1) dhe shumëzojmë dy anët me të.\frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2}\Leftrightarrow 2(x-1)(x+1)\frac{x+1}{2(x-1)}=2(x-1)(x+1)\left ( \frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} \right )\Leftrightarrow (x+1)^{2}=2x(x+1)+(x-1)(7-2x)....etj                            Shkuani bashkësinë e zgjidhjeve.
  1. \sqrt{x}=-x ngrejmë në katror dy anët. \left ( \sqrt{x} \right )^{2}=\left ( -x \right )^{2}\Leftrightarrow x=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=1 .                                 Bëjmë provën dhe shohim që vetëm numri 0 është rrënjë.

Plotësoni formën e mëposhtme për pyetje të ndryshme.

0

Ekuacione në trajtë prodhimi. Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve.

  • Çdo rrënjë e ekuacionit f(x)\cdot g(x)=0  është rrënjë e f(x) ose e g(x) d.m.th f(x)\cdot g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=0\vee g(x)=0
  • Çdo rrënjë e f(x)=0  për të cilën ka kuptim g(x) është rrënjë e f(x)\cdot g(x)=0.

Shembull

  1. x^{3}-4x=0\Leftrightarrow x(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}-4=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}=4\Leftrightarrow x=0\vee x=-2\vee x=2                   Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;0;2}

 

  1. 2x^{3}-4x^{2}+3x-6=0\Leftrightarrow 2x^{2}(x-2)+3(x-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(2x^{2}+3)=0\Leftrightarrow x-2=0\vee 2x^{2}+3=0.....etj

 

  1. (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0 . Fillimisht gjejmë mjedisin (vlerat e lejuara të ndryshores) 4-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\leq 4\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2\Leftrightarrow x\epsilon [-2;2] . E zgjidhim: (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow 2x-6=0\vee \sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow x=3\vee x=\pm 2 .                              Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;2}. Numri 3 nuk bën pjesë në mjedisin e ekuacionit.

Mund të pyesni për ushtrime të ndryshme duke plotësuar formën më poshtë.

0

Ekuacionet trinom. Ushtrime.

ekuacion1Ekuacionet e formës  ax2n+bxn+c=0 quhen ekuacione trinom. Ato zgjidhen duke zëvendësuar xn=t dhe zgjidhur ekuacionin at2+bt+c=0. Në fund kthehemi tek zëvendësimi. Kur n=2 kemi ekuacon bikuadrat.

Shembull: 

x10-31x5-32=0. zëvendësojmë x5=t. marrim t2-31t-32=0.Gjejmë dallorin pastaj me anë të formulës gjejmë  t1=-1 dhe t2=32. Zëvendësojmë  x5=-1 nga ku x=-1 dhe x5=32 nga ku x=2. Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit është A={-1;2}. 

Ushtrim

Zgjidhni ekuacionet:

a)(x^{2}-x)^{2}=4 . Zëvendësojmë x^{2}-x=t nga ku t^{2}=4\Rightarrow t=2\vee t=-2 . Shkojmë tek zëvendësimi dhe marrim dy ekuacione: x^{2}-x=2\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0  dhe x^{2}-x=-2\Leftrightarrow x^{2}-x+2=0 . I zgjidhim duke gjetur dallorin dhe gjejmë rrënjët:  -1 dhe 2 për të parin ndërsa i dyti nuk ka zgjidhje sepse dallori është negativ. Bashkësia e zgjidhjeve A={-1;2}

b)(x^{2}+2x)^{2}-14(x^{2}+2x)-15=0 . Zëvendësojmë  x^{2}+2x=t  marrim ekuacionin t^{2}-14t-15=0 dhe veprojmë si tek shembulli më sipër.

c)  4\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{4}-5\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+1=0 .  Fillimisht përcaktojmë mjedisin e ekuacionit (vlerat e lejuara të ndryshores x) që është R*. Zëvendësojmë \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=t dhe kemi 4t^{2}-5t+1=0  nga ku t_{1}=\frac{1}{4}  dhe  t_{2}=1 .  Shkojmë tek zëvendësimi:  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \frac{1}{2}  ose  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm 1 . Zgjidhim 4 ekuacionet:

x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}+x+2=0

x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-x+2=0

x+\frac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x^{2}+x+1=0

x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x+1=0  …. .

Nëse keni ndonjë pyetje  parashtrojeni tek formulari më poshtë.

0

Funksioni dhe vargu numerik. Model testi për kapitullin. Zgjidhja.

Zgjidhjet e ushtrimeve. TESTI

0

Function and numerical sequence

progresioni gjeometrik1Find the domain of the function: Read the rest of this entry »

0

Ushtrime. Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e n-të.

Ushtrim 1progresioni gjeometrik

Shkruani formulën e kufizës së n-të për progresionin gjeometrik  sinα, 3sinα, ……

y_{1}=sin\alpha ,q=\frac{3sin\alpha }{sin\alpha }=3\Rightarrow y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}=sin\alpha \cdot 3^{n-1}

Ushtrim 2

Në progresionin gjeometrik me 5 kufiza, kufiza e fundit është \frac{16}{27}. Gjeni kufizën e parë nëse herësi është -\frac{2}{3} .

q=-\frac{2}{3},y_{5}=\frac{16}{27} .  y_{5}=y_{1}\cdot q^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \frac{16}{81}\Rightarrow y_{1}=3 .

Ushtrim 3

Gjeni numrin e kufizave të progresionit gjeometrik në të cilin y_{1}=3,q=\frac{1}{2},y_{n}=\frac{3}{64} .

Shkruajmë formulën për kufizën e përgjithshme y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow \frac{3}{64}=3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}….etj.

Ushtrim 4

Tregoni nëse vargjet e mëposhtme janë progresione gjeometrike.  a) y_{n}=3\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{n},n\epsilon N.  b)y_{n}=5\cdot n,n\epsilon N.  c)y_{n}=\left ( -2 \right )^{n},n\epsilon N.

Vlersojmë raportin  \frac{y_{n}}{y_{n-1}}    , që të jetë progresion gjeometrik ky raport duhet të jetë numër.  c)\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{(-2)^{n}}{(-2)^{n-1}}=(-2)^{n-(n-1)}=-2   d.m.th është progresion gjeometrik me q=-2.

Ushtrim 5

Në progresionin gjeometrik gjeni y1 dhe q kur dihet se: \left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}\cdot q-y_{1}=-4\\ y_{1}\cdot q^{2}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}(q-1)=-4\\ y_{1}(q^{2}-1)=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{q^{2}-1}{q-1}=\frac{8}{-4}\Rightarrow q+1=-2\Rightarrow q=-3  zëvendësojmë tek njëri ekuacion tek hallka e tretë y_{1}(-3-1)=-4\Rightarrow y_{1}=1

(Nuk ka ndonjë metodë të caktuar për zgjidhjen e sistemeve. Tek hallka e tretë kemi pjesëtuar dy ekuacionet anë për anë. q≠1 dhe yn≠0)

0

Progresioni Aritmetik, Gjeometrik

Përkufizimet

Progresion aritmetik është vargu në të cilin NDRYSHESA e çdprogresiono kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR)

Progresion gjeometrik është vargu në të cilin RAPORTI i çdo kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR). Kuptohet se kufizat në këtë rast janë të ndryshme nga zero.

Kryesoret që duhet të dihen

Për të provuar nëse një varg është progresion aritmetik ose gjeometrik duhet të vlerësohet  DIFERENCA y_{n}-y_{n-1},  ose RAPORTI  \frac{y_{n}}{y_{n-1}} ,

Shembull: Jepet vargu y_{n}=5\cdot 3^{n+1} .  

y_{n}-y_{n-1}=5\cdot 3^{n+1}-5\cdot 3^{(n+1)-1}=5\cdot (3^{n+1}-3^{n})=5\cdot (3^{n}\cdot 3^{1}-3^{n})=5\cdot 3^{n}\cdot (3-1)=10\cdot 3^{n} .  Nuk është progresion aritmetik sepse për vlera të ndryshme të n DIFERENCA merr vlera të ndryshme, pra nuk është konstante.

\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{5\cdot 3^{n+1}}{5\cdot 3^{n}}=3^{n+1-n}=3=q . Është progresion gjeometrik sepse sido që të jetë n-ja RAPORTI është i barabartë me 3 , KONSTANT.

Për të treguar se nuk është progresion mund të veprohet edhe duke marrë dhe vlerësuar dy diferenca(raporte). Tek shembulli më sipër  y1=45, y2=175, y3=405.   y3-y2=230 ndërsa y2-y1=130

Formulat

Për progresionin Aritmetik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}+(n-1)d\\ S_{n}=\frac{y_{1}+y_{n}}{2}\cdot n \end{matrix}\right.

Për progresionin Gjeometrik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\\ S_{n}=y_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{matrix}\right.

Sn-shuma e n kufizave të para të progresionit. yn-kufiza e n-të e progresionit. y1-kufiza e parë. d-ndryshesa. q-herësi.

Për progresionet mund të arsyetojmë se kur janë rritëse ose zvogluese. (metoda tek vargjet)

Vargu konstant është edhe progresion aritmetik edhe gjeometrik. Pse?

0

Vargu numerik.

Vargjet numerike janë funksione me bashkësi përcaktimi bashkësinë e numrave natyrorë ose k-numrat e parë natyrorë. (Në rastin e parë vargu është i pafundëm, në të dytin i fundëm)

Shembull: 3, 5, 7, 9, 11, 13. Në këtë varg të fundëm në të cilin janë treguar gjithë kufizat kemi a_{1}=3, a_{2}=5..  Duke e parë si funksion E={1,2,3,4,5,6} kurse F={3,5,7,9,11,13}. 

Mënyrat e dhënies së vargut: Mënyra e parë është duke dhënë të gjitha kufizat e vargut (si tek shembulli më sipër)

Mënyra e dytë është dhënia me anë të një formule që shpreh lidhjen e çdo kufize të saj me treguesin psh a_{n}=5n-1 . Për të gjetur kufizën e dhjetë do të zëvendësojmë tek treguesi numrin 10  a_{10}=5\cdot 10-1=49

Mënyra e tretë mënyra rekurente në të cilën kufizat e vargut tregohen duke dhënë kufizën e parë dhe një formulë që jep lidhjen e çdo kufize me kufizën paraardhëse, psh \left\{\begin{matrix} a_{1}=4\\ a_{n}=5a_{n-1}+2 \end{matrix}\right..

Ushtrim 1

Tregoni 4 kufizat e para të vargut: y_{n}=\frac{n+2}{n}    Zgjidhje: y_{1}=\frac{1+2}{1}=3,  y_{2}=\frac{2+2}{2}=2y_{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3} , y_{4}=\frac{4+2}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} .

Ushtrim 2

Për vargun y_{n}=2^{n-1}  gjeni y_{n+1} , y_{n-1}y_{n}+1y_{n}-1 , \frac{1}{y_{n}} . Në vend të n zëvendësojmë n+1, n-1  etj.\frac{1}{y_{n}}=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}.

Ushtrim 3

vargu2Jepet vargu: y_{n}=n^{2}-9n\epsilon N. Paraqitni grafikisht 4 kufizat e para të vargut. Ndërtoni grafikun e funksionit y=x^{2}-9 në segmentin \left [ 1;4 \right ].

Krahasoni dy grafikët e ndërtuar.

vargu3

y_{1}=1^{2}-9=-8 , y_{2}=2^{2}-9=-5 , y_{3}=3^{2}-9=0 , y_{4}=4^{2}-9=7.

Grafiku ka vëtm 4 pika A(1;-8), B(2;-5), C(3;0) dhe D(4;7). Nërsa grafiku i funksionit y=x^{2}-9 është një pjesa AB e pashkëputur e parabolës. 

Grafiku i vargut është një bashkësi pikash në sistemin kordinativ të cilat kanë kordinatën e parë numër natyror.

Ushtrim 4

Jepet vargu y_{n}=n^{2}-1. Tregoni nëse janë kufiza të vargut numrat: 24, 98.

Që të jenë kufiza të vargut duhet të ekzistojë një n nga N e tillë që   y_{n}=24 dhe për tjetrën  y_{n}=98 y_{n}=98\Rightarrow n^{2}-1=98\Rightarrow n^{2}=99\Rightarrow n=\sqrt{99}\Rightarrow 98 nuk është kufizë e vargut sepse \sqrt{99}\notin N.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Detyrë Kontrolli

ngjashmeria30Detyra e kontrollit për nxënësit e klasave ta X-ta.Ngjashmëria e trekëndëshave. Pjestimi i polinomit me x-c. Kliko KËTU për të parë ushtrimet sipas grupeve.   

Zgjidhja GRUPI A. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI B. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI C. Kliko KËTU

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.4

Ushtrim 1

Dihet që P(x+2)=2x^{3}-4x^{2}+2x+3. Gjeni mbetjen e pjesëtimit të P(x) me x-3.

Mbetja e pjesëtimit me x-3 është e barabartë me vlerën e polinomit në x=3. P(3)=P(1+2)=2\cdot 1^{3}-4\cdot 1^{2}+2\cdot 1+3=3

Ushtrim 2

Gjeni koeficientët a, b  dhe c të polinomit P(x)=ax^{2}+bx+c  duke ditur që P(x+1)+P(x-1)=8x^{2}-6x+10

Gjejmë P(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c  dhe P(x-1)=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c . I zëvendësojmë tek barazimi dhe barazojmë koeficientat para fuqive respektive të x-it.

Ushtrim 3

Polinomi P(x)=x^{3}-ax^{2}+bx+6 plotpjesëtohet me x-1 dhe me x-3. Gjeni koeficientat a dhe b.

Meqenëse plotpjesëtohet me x-1 dhe me x+3 kjo do të thotë se P(1)=0 dhe P(-3)=0. Zëvendësojmë dhe zgjidhim sistemin me dy ekuacione me dy të panjohura.

Ushtrim 4

polinom

Dy rrënjë të polinomit x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6  janë 2 dhe -3. Gjeni dy rrënjët tjera të tij.

Pjestojmë me x-2 dhe gjejmë polinomin P(x). Pastaj pjestojmë polinomin P(x) me x+3 dhe gjejmë polinomin e fuqisë së dytë Q(x). Zgjidhim ekuacionin Q(x)=0.

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.3

Zemanta Related Posts ThumbnailUshtrim 1

Për gjithë vlerat e lejuara të x ka vend barazimi: \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3} . Gjeni a dhe b.

\frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3}\Leftrightarrow \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a(x-3)+b(x+1)}{(x+1)(x-3)}\Leftrightarrow x-7=a(x-3)+b(x+1)\Leftrightarrow x-7=(a+b)x-3a+b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1\\ -3a+b=-7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-1 \end{matrix}\right.

Ushtrim 2

Polinomi P(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+mx-3 plotpjesëtohet me x-2. Gjeni m.

Meqenëse polinomi plopjesëtohet me x-2, kjo do të thotë se vlera e tij për x=2 është zero. P(2)=0… etj.

Ushtrim 3

Gjatë pjesëtimit të polinomit P(x)=x^{4}+2x^{3}+x-2  me x^{2}+1 kemi identitetin : P(x)=(x^{2}+1)\cdot Q(x)+R(x)  ku Q(x) është i fuqisë së dytë dhe R(x) i fuqisë së parë. Gjeni Q(x) dhe R(x).

Polinomi Q(x) ka trajtën x^{2}+ax+b kurse R(x) ka trajtën cx+d. Zëvendësojmë dhe përdorim përkufizimin për polinomet e barabarta.

x^{4}+2x^{3}+x-2=(x^{2}+1)(x^{2}+ax+b)+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x^{2}+ax+b+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+(b+1)x^{2}+(a+c)x+(b+d)…etj

Ushtrim 4

Polonomi P(x) gjatë pjesëtimit me (x-1) jep mbetjen 2, kurse gjatë pjesëtimit me (x-2) jep mbetjen 5. Mbetja e këtij polinomi gjatë pjesëtimit me (x-1)(x-2) ka trajtën ax+b. Gjeni a dhe b.

Nga kushtet e ushtrimit kemi që P(1)=2 dhe P(2)=5 (Vlera e polinomit në pikën c është e barabartë me mbetjen gjatë pjestimit me x-c). Nga ana tjetër P(1)=a+b dhe P(2)=2a+b. …etj.

0

Bashkësia e përcaktimit të funksionit. (Mat bazë). Ushtrime2

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksioneve: 1) y=\frac{1}{\left | x \right |-5} , 2)y=\frac{1}{\left | x-5 \right |} , 3)y=\sqrt{\left | x \right |-2} , 4)y=\sqrt{4-\left | x \right |} . 

1) \left | x \right |-5\neq 0\Rightarrow \left | x \right |\neq 5\Rightarrow x\neq \pm 5   d.m.th E=]-\infty ;-5[\cup ]-5;5[\cup ]5;+\infty [

2)\left | x-5 \right |\neq 0\Rightarrow x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5\Rightarrow E=]-\infty; 5[\cup ]5;+\infty [

3)\left | x \right |-2\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\geq 2\Rightarrow E=]-\infty ;-2]\cup [2;+\infty [   .Kuptimi i vlerës absolute, e cila tregon largesën nga origjina, kështu mosbarazimi  \left | x \right |\geq 2  mund të përkthehet “cilat pika në boshtin numerik kanë largesën nga origjina më të madhe ose të barabartë me 2”.

4)4-\left | x \right |\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\leq 4\Rightarrow -4\leq x\leq 4\Rightarrow E=[-4;4] . Pikat që kanë largesën nga origjina më të vogël se 4.