BASHKËSIA, LOGJIKA, PROGRAMIMI LINEAR.SHPREHJET ME NDRYSHORE. Archive

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.4

Ushtrim 1

Dihet që P(x+2)=2x^{3}-4x^{2}+2x+3. Gjeni mbetjen e pjesëtimit të P(x) me x-3.

Mbetja e pjesëtimit me x-3 është e barabartë me vlerën e polinomit në x=3. P(3)=P(1+2)=2\cdot 1^{3}-4\cdot 1^{2}+2\cdot 1+3=3

Ushtrim 2

Gjeni koeficientët a, b  dhe c të polinomit P(x)=ax^{2}+bx+c  duke ditur që P(x+1)+P(x-1)=8x^{2}-6x+10

Gjejmë P(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c  dhe P(x-1)=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c . I zëvendësojmë tek barazimi dhe barazojmë koeficientat para fuqive respektive të x-it.

Ushtrim 3

Polinomi P(x)=x^{3}-ax^{2}+bx+6 plotpjesëtohet me x-1 dhe me x-3. Gjeni koeficientat a dhe b.

Meqenëse plotpjesëtohet me x-1 dhe me x+3 kjo do të thotë se P(1)=0 dhe P(-3)=0. Zëvendësojmë dhe zgjidhim sistemin me dy ekuacione me dy të panjohura.

Ushtrim 4

polinom

Dy rrënjë të polinomit x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6  janë 2 dhe -3. Gjeni dy rrënjët tjera të tij.

Pjestojmë me x-2 dhe gjejmë polinomin P(x). Pastaj pjestojmë polinomin P(x) me x+3 dhe gjejmë polinomin e fuqisë së dytë Q(x). Zgjidhim ekuacionin Q(x)=0.

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.3

Zemanta Related Posts ThumbnailUshtrim 1

Për gjithë vlerat e lejuara të x ka vend barazimi: \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3} . Gjeni a dhe b.

\frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3}\Leftrightarrow \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a(x-3)+b(x+1)}{(x+1)(x-3)}\Leftrightarrow x-7=a(x-3)+b(x+1)\Leftrightarrow x-7=(a+b)x-3a+b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1\\ -3a+b=-7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-1 \end{matrix}\right.

Ushtrim 2

Polinomi P(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+mx-3 plotpjesëtohet me x-2. Gjeni m.

Meqenëse polinomi plopjesëtohet me x-2, kjo do të thotë se vlera e tij për x=2 është zero. P(2)=0… etj.

Ushtrim 3

Gjatë pjesëtimit të polinomit P(x)=x^{4}+2x^{3}+x-2  me x^{2}+1 kemi identitetin : P(x)=(x^{2}+1)\cdot Q(x)+R(x)  ku Q(x) është i fuqisë së dytë dhe R(x) i fuqisë së parë. Gjeni Q(x) dhe R(x).

Polinomi Q(x) ka trajtën x^{2}+ax+b kurse R(x) ka trajtën cx+d. Zëvendësojmë dhe përdorim përkufizimin për polinomet e barabarta.

x^{4}+2x^{3}+x-2=(x^{2}+1)(x^{2}+ax+b)+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x^{2}+ax+b+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+(b+1)x^{2}+(a+c)x+(b+d)…etj

Ushtrim 4

Polonomi P(x) gjatë pjesëtimit me (x-1) jep mbetjen 2, kurse gjatë pjesëtimit me (x-2) jep mbetjen 5. Mbetja e këtij polinomi gjatë pjesëtimit me (x-1)(x-2) ka trajtën ax+b. Gjeni a dhe b.

Nga kushtet e ushtrimit kemi që P(1)=2 dhe P(2)=5 (Vlera e polinomit në pikën c është e barabartë me mbetjen gjatë pjestimit me x-c). Nga ana tjetër P(1)=a+b dhe P(2)=2a+b. …etj.

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.2

logjikaUshtrim 1

Turisti llogariti se nëse ai do të ecë me shpejtësi 4km/orë, atëherë ai do të vonohet për të arritur tek hoteli me 0,5 orë. Kurse nëse ai do të ecë me shpejtësi 5km/orë do të mbërrijë në hotel 6 minuta para kohës së caktuar. Në çfarë largësie është turisti nga hoteli.

Shënojmë me x në km largësinë e turistit nga hoteli dhe me t në orë kohën e caktuar për të vajtur.

Me shpejtësinë 4km/orë do të kemi rrugën  x=4(t+\frac{1}{2})  sepse i duhet gjysëm ore më shumë.

Me shpejtësinë 5km/orë do të kemi rrugën x=5(t-\frac{1}{10})  sepse janë 6min=\frac{1}{10}  e orës më shumë. Zgjidhim sistemin me dy ekuacionet dhe gjejmë x-in.

Ushtrim 2

Vërtetoni identitetet: 

a)(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=   shtojmë dhe zbresim 4abcd dhe rregullojmë katrorët e binomeve.  a^{2}c^{2}+4abcd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}-4abcd+b^{2}c^{2}=... etj.

b)x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-y^{n-4}y^{3}+...+x^{2}y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1})

Kryejmë shumzimet në anën e djathtë dhe shohim se reduktohen të gjitha kufizat përveç të parës dhe të fundit.

Ushtrim 3

Vërtetoni se shprehja x^{2}+2x+2  mund të marrë vetëm vlera pozitive. 

x^{2}+2x+2=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1>0  sepse (x+1)^{2}\geq 0\Rightarrow (x+1)^{2}+1\geq 0+1> 0

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.1

Ushtrim 1

Vërtetoni që për çdo numër natyror:

a)Vlera e shprehjes (n+4)(n-1)-(n+8)(n-5) nuk varet nga n.

b)Vlera e shprehjes (n+3)(n+2)-n(n-1) është shumëfish i 6.

c)Vlera e shprehjes (n-6)(n+8)-2(n-25) është pozitive.

a)Pas shndërrimeve të njëvlershme të shprehjes duhet që përfundimi të jetë numër.

b)Pas shndërrimeve të njëvlershme përfundimi duhet të dalë 6 herë një shprehje tjetër. Pra duhet të tentohet të faktorizohet numri 6.

c)(n-6)(n+8)-2(n-25)=n^{2}+8n-6n-48-2n+50=n^{2}+2> 0  sepse n^{2}\geq 0\Rightarrow n^{2}+2\geq 0+2> 0

Ushtrim 2

Gjeni polinomin M që të ketë vend identiteti: M+(5x^{2}-2xy)=6x^{2}+9xy-y^{2} . Kujtojmë kur dy polinome janë të barabarta. Polinomi M do të ketë trajtën:  ax^{2}+bxy+cy^{2}.  Atëherë shkruajmë  ax^{2}+bxy+cy^{2}+5x^{2}-2xy=6x^{2}+9xy-y^{2}\Leftrightarrow (a+5)x^{2}+(b-2)xy+cy^{2}=6x^{2}+9xy-y^{2} …..etj.

Ushtrim 3

A mund ta gjeni vlerën e shprehjes: (7a^{3}-6a^{2}b+5ab^{2})+(5a^{3}+7a^{2}b+3ab^{2})-(10a^{3}+a^{2}b+8ab^{2}) duke ditur vetëm vlerën e ndryshores a=-0,25.

Shndërrojmë shprehjen dhe shohim që ajo varet vetëm nga a-ja, prandaj përgjigja është pozitive.

Ushtrim 4

Aka vlera të x-it për të cilat vlera e polinomit a) 2x2+6x+3 është numër çift, b) x2+x+2 është numër tek.

Kujtojmë shuma e dy numrave tek ose çift është çift, dhe shuma e një numri tek me një numër çift është numër tek. (mund ta vërtetoni). 2x^{2}+6x+3=2(x^{2}+3x)+3 . Për çdo numër x që të marrim 2(x^{2}+3x) është çift, numri  3 tek kjo sjell që vlera e polinomit tonë është gjithmonë tek…..etj. Njëlloj mund të arsyetojmë për b)

Ushtrim 5

Vërtetoni që nëse ab+c2=0, atëherë (a+c)(b+c)+(a-c)(b-c)=0. 

Nxjerrim c2=ab dhe e zëvendësojmë tek ana e majtë e barazimit pasi të kemi kryer shndërrimin e saj.

0

Rregullat e vërtetimit (Mat e avancuar)

logjikaSilogjizmi

Nëse janë të vërteta pohimet p dhe p\Rightarrow q , atëherë është i vërtetë edhe q.

Shembull: p\Rightarrow q:”Nëse shuma e shifrave të një numri plotpjesëtohet me 3, atëherë edhe numri plotpjesëtohet me 3″.  Shuma e shifrave të numrit 6432 pjesëtohet me 3. Përfundimi numri 6432 pjesëtohet me 3.

Modus tollens

I vërtetë p\Rightarrow q, por q  i gabuar, atëherë edhe p është i gabuar.

Shembull: p\Rightarrow q: “Nëse një numër plotpjesëtohet me 10, atëherë ai mbaron me zero”. Numri 6432 nuk mbaron me zero. Përfundimi numri 6432 nuk plotpjesëtohet me 10.

Kalimi i implikimit logjik

Nëse janë të vërteta p\Rightarrow q  dhe  q\Rightarrow r, atëherë është i vërtetë edhe  p\Rightarrow r.

Shembull: “Nëse zgjohem vonë atëherë mbyllet dera e shkollës”. Nëse mbyllet dera e shkollës atëherë mungoj në mësim”. I vërtetë edhe përfundimi: “Nëse zgjohem vonë, atëherë mungoj në mësim”

Arsyetimi me absurditet

Për të treguar vërtetësinë e pohimit q, supozojmë se është i vërtetë mohimi i tij. Nëse nga mohimi i q rrjedh një absurditet atëherë është i vërtetë pohimi q, sepse supozimi është i gabuar.

Shembull:”Nëse prodhimi i dy numrave natyrorë është tek, atëherë të dy numrat janë tek”. Supozojmë se të dy numrat janë çift, a=2k dhe b=2p (ku k dhe p janë numra natyrorë). Bëjmë prodhimin a\cdot b=2k\cdot 2p=2(2kp)  i cili del çift!! (absurditet) në kundërshtim me kushtin. Supozimi i gabuar, kështu që ngelet që të dy numrat janë tek.

0

Udhëzime. Ushtrimet 3.7 për pjestimin e polinomeve. Klasa X (baza)

Ushtrim1

Pjestoni me skemën e Hornerit polinomin:……..   me x-2, me x+3, me x

Kur pjestojmë me x+3 kemi parasysh që c=-3, dmth në këtë rast pjestojmë me x-(-3). Pjestimi me x merret c=0 dmth pjestojmë me x-0. Shiko skemën KËTU

skema e HorneritUshtrim3

Tregoni me dy mënyra që numri 5 është rrënjë e polinomit x^{3}-20x-25

Numri a është rrënjë e polinomit P(x) kur P(a)=0. Kështuqë mënyra e parë do të jetë duke zëvendësuar numrin në vend të x tek polinomi i dhënë.

Kujtojmë teoremën për pjestimin e polinomit me x-c : P(x)=(x-c)Q(x)+r.   Për numrin a të dhënë do të kishim:P(x)=(x-a)Q(x)+r .  Llogaritim vlerën e polinomit për x=a : P(a)=(a-a)Q(a)+r=r . Formulojmë se qfarë do të thotë kjo. Vlera e polinomit në për x=a është e barabartë me mbetjen e pjestimit të tij me x-a. Këtu konsiston edhe mënyra e dytë e zgjidhjes së ushtrimit. Prandaj kryejmë pjestimin me x-a dhe shohim që mbetja do të jetë e barabartë me zero.

Ushtrim4

Përcaktoni koeficientët a, b në mënyrë që polinomet: P(x)=x^{3}+ax^{2}+(b+2)x+5 dhe Q(x)=x^{3}+bx^{2}+a^{2}x+5 .

Duhet që: \left\{\begin{matrix} a=b\\ b+2=a^{2} \end{matrix}\right. . Zgjidhni sistemin.

Ushtrim5

Pjestoni polinomin P(x)=2x^{3}-10x^{2}+7x-1  me  3-x , me  2x-6 .

Këtu pjestuesin duhet ta kthejmë në trajtën k(x-c) që të mund të përdorim skemën e Hornerit (ose veprojmë me metodën e koeficientëve të pacaktuar). Kështu 3-x=-(x-3)  pjesëtojmë njëherë me (x-3)  pastaj me -1. Njëlloj  2x-6=2(x-3) . Tek tabela mund të vendosim dhe një rresht tjetër  në të cilin vendosim rezultatet e pjesëtimit me 2 të gjithë koeficientave të Q(x) dhe r-së.

Ushtrim6

Përcaktoni koeficientin m në mënyrë që numri -2 të jetë rrënjë e polinomit x^{3}+mx^{2}-5 .

Kjo do të thotë se: P(-2)=0\Rightarrow (-2)^{3}+m(-2)^{2}-5=0\Rightarrow ....etj.

Ushtrim7

Shkruani një polinom që të ketë rrënjë numrat -2, 0, 1, 3. A është një polinom i tillë i vetëm?

Nëse numri c është rrënjë e polinomit atëherë polinomi plotpjesëtohet me x-c. Polinomi jonë do të plotpjesëtohet me x+2, x, x-1 dhe me x-3.  Një polinom i tillë do të merret nga prodhimi: (x+2)x(x-1)(x-3)=....   kryejmë veprimet  dhe polinomi që merrët është i kërkuari. Nuk është i vetëm, shprehjen në kllapa mjafton ta shumzojmë me një numër.

Ushtrim10

Gjeni koeficientin m kur mbetja e pjestimit të polinomit x^{3}-mx^{2}+2x-3  me x+1  është 6.

Kjo do të thotë se  P(-1)=6 … etj. Shiko ushtrimin3.

0

Skema e Hornerit

Për pjestimin e polinomeve një metodë shumë e përshtatshme dhe praktike është Skema e Hornerit.

Mundohuni ta kuptskema e Horneritoni nëpërmjet figurës.

Ndërtohet një tabelë me tre rreshta dhe dy kolona. Tek kolona e parë në krye vendoset c-ja. Tek kolona e dytë në rreshtin e parë vendosen koeficientat e polinomit P(x) sipas rendit zbritës . 

Nëse mungon ndonjëra prej fuqive vendoset zero.

Rreshti i dytë është rrjeshti ku kryhen shumëzimet sipas skemës. 

Rreshti i tretë merret nga shuma e dy rreshtave me përjashtim të numrit të parë që vendoset njëlloj në tre rreshtat.

Më mirë shiko skemën.

0

Për nxënësit e klasës së X-të. Polinomi me një ndryshore.

Trajta e përgjithshme e polinomit me një ndryshore është: P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....a_{n}x^{n}   ku  a_{n}\neq 0 . Vlera e ndryshores për të cilën polinomi bëhet zero quhet rrënjë e polinomit.

Dy polinome janë identike nëse koeficientët pranë fuqive të njejta të ndryshores janë të barabarta.

P(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+....a_{n}x^{n}   ,  Q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+....b_{n}x^{n} .

P(x)=Q(x)\Leftrightarrow a_{0}=b_{0},a_{1}=b_{1}, ...a_{n}=b_{n}

Për polinomin P(x) dhe numrin c ekziston polinomi Q(x) dhe numri r, të tillë që   P(x)=(x-c)\cdot Q(x)+r.

Mënyrat e pjestimit të polinomeve:

I) Mënyra e koficientëve të pacaktuar bazohet tek përkufizimi i polinomeve identikë. Barazojmë koeficientat para fuqive respektive.

Shembull1

Pjsëtojmë polinomin  3x^{3}-x^{2}+4 me x-3. Herësi do të jetë polinom i fuqisë së dytë.

3x^{3}-x^{2}+4=(x-3)(ax^{2}+bx+c)+r

3x^{3}-x^{2}+4=(x-3)(ax^{2}+bx+c)+r

3x^{3}-x^{2}+4=ax^{3}+bx^{2}+cx-3ax^{2}-3bx-3c+r

3x^{3}-x^{2}+4=ax^{3}+(b-3a)x^{2}+(c-3b)x+(-3c+r)

Barazojmë koeficientat

\left\{\begin{matrix} a=3\\ b-3a=-1\\ c-3b=0\\ -3c+r=4 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=\\ c=24\\ r=76 \end{matrix}\right.

II)Skema e Hornerit

Radhitim polinomin sipas fuqive zbritëse të x-it. (kur një fuqi mungon atëherë vendoset zero)

3x^{3}-x^{2}+0x+4  do e pjesëtojmë me x-3

3              3          -1          0         4
     3         3.3         3.8      3.24
     3          8           24        76

3x^{3}-x^{2}+4=(x-3)(3x^{2}+8x+24)+76

0

“duhet”, “mjafton”. Matematika X (avancuar)

Implikimi p\Rightarrow q është i vërtetë. Në këtë rast thuhet  “p kusht i mjaftueshëm për q” , “MJAFTON të jetë i vërtetë p që të jetë i vërtetë q”. Në këtë rast gjithashtu thuhet: “q është kusht i nevojshëm për p” , “DUHET të jetë i vërtetë q që të jetë i vërtetë p”.

Shembull 1

Shqyrtojmë fjalitë në bashkësinë e numrave natyror: p:”Numri a plotpjesëtohet me 6″  dhe q:”Numri a plotëpjestohet me 3″. Formulojmë implikimet përkatëse:

p\Rightarrow q:”Nëse një numër plotpjesëtohet me 6 atëherë ai plotpjesëtohet me 3″ (V)

q\Rightarrow p:”Nëse një numër plotpjesëtohet me 3 atëherë ai plotpjesëtohet me 6″  (G)

Në  këtë rast themi se p është i mjaftuashëm për q. Që një numër të plotpjesëtohet me 3 MJAFTON që ai të plotpjesëtohet me 6.

Kurse pohimi q është i nevojshëm për p . Që një numër të plotpjesëtohet më 6 DUHET që ai të plotpjesëtohet me 3

Për implikimin e anasjelltë: Që një numër të plotpjesëtohet me 6  MJAFTON që ai të plotpjesëtohet me 3. nuk është i saktë. q nuk është i mjaftueshëm për p. dhe tjetra: Që një numër të plotpjesëtohet më 3 DUHET që ai të plotpjesëtohet me 6. p nuk është i domosdoshëm për q.

Shembull 2

Shqyrtojmë pohimet:  p:\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}   dhe  q:\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0 në bashkësinë e vektorëve jozero.   Implikimin p\Rightarrow q mund ta shprehim në disa mënyra:

1- Në qoftë se dy vektorë janë pingul atëherë prodhimi i tyre është zero.

2-Mjafton që dy vektorët  të jenë pingul që prodhimi i tyre të jetë zero.

3.Që dy vektorët të jenë pingul duhet që prodhimi i tyre të jetë zero.

Në fakt në këtë rast është i vërtetë edhe implikimi  q\Rightarrow p , dhe tre pohimet e mësipërme formulohen edhe  të anasjelltat dhe janë të vërteta.

Formulimi më i saktë do të ishtë në këtë formë:

“Dy vektorë janë pingul në qoftë se dhe vëtëm në qoftë se prodhimi i tyre është zero”

“Dy vektorë janë pingul atëherë dhe vetëm atëherë kur prodhimi i tyre është zero”

“Që dy vektorë të jenë pingul duhet dhe mjafton që prodhimi i tyre të jetë zero”

Shembull3

Marrim në shqyrtim përkufizimin e paralelogramit: “Paralelogram quhet katërkëndëshi që ka brinjët e kundërta dy e nga dy paralele”

Shënojmë p:”Katërkëndëshi i ka brinjët e kundërta dy e nga dy paralele”, q:”katërkëndëshi është paralelogram”

Në këtë rast të dy implikimet janë të vërteta (mund ti formuloni me të gjitha mënyrat e mundshme).  Përkufizimi është një implikim i dyanshëm. Duke qenë se kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm është gjithashtu implikim i dyanshëm atëherë ai mund të përdoret si përkufizim.

0

Problema të programimit linear.(kl X avancuar)

Një uzinë prodhon dy lloje detalesh A dhe B, duke përdorur tre lloje lëndësh të para I, II dhe III. Të dhënat jepen në tabelë. Të përcaktohet plani i prodhimit të uzinës në mënyrë që prodhimi të jetë maksimal.

Llojet e detaleve

Lenda e pare

    A              B            Rezervat   
I 1 8 1200
II 6 0 600
III 12 2 1500
Te ardhurat 6 12  
Plani i prodhimit x y  

 

 

 

 

 

 

 

Shënojmë me x numrin e detaleve të llojit A dhe y numrin e detaleve të llojit B. Për x detale të llojit A dhe y detale të llojit B harxhohen përkatësisht:

x+8y      lëndë e parë nga lloji I

6x+0y   lëndë e parë nga lloji II

12x+2y lëndë e parë nga lloji III

Nisur nga rezervat për lëndët e para, dhe duke ditur se x dhe y janë më të mëdhenj ose të barabartë me zero, formojmë sistemine inekuacioneve:\left\{\begin{matrix} x+8y\leq 1200\\ 6x\leq 600\\ 12x+2y\leq 1500\\ x\geq 0\\ y\geq 0 \end{matrix}\right.    Fitimi do të jepet me formulën  programim linear 1F(x;y)=6x+12y . Problema është të gjenden x dhe y që fitimi të jetë maksimal. D.m.th do gjejmë vlerën më të madhe të funksionit F.

Përcaktojmë zonën e zgjidhjeve në planin kordinativ. Trapezi OABC

O(0;0), A(0;750), B(100;150)  dhe C(100;0)

F_{O}=6\cdot 0+12\cdot 0

F_{A}=6\cdot 0+12\cdot 750=9000

F_{B}=6\cdot 100+12\cdot 750=9600

F_{C}=6\cdot 100+12\cdot 0=600

Që fitimi të jetë maksimal duhet të prodhohen 100 detale të llojit A, dhe 150 detale të llojit B.

0

Për nxënësit e klasës së X-të. Udhëzime për ushtrimet për faktorizimin e polinomeve.

Ushtrim1

Gjeni vlerën e shprehjes. Ka dy mënyra për të gjetur vlerën e shprehjes: e para zëvendëso direkt në vend të x(ose të a dhe b) dhe kryej veprimet me numra, e dyta transformojmë duke e kthyer në trajtë më të thjeshtë , pastaj zëvendësojmë ndryshoren(ose ndryshoret)

Ushtrim2

Vlera e përafërt llogaritet me anë të formulës:  (1+\alpha )^{3}\approx 1+3\alpha  për vlera shumë afër 1-it. (dmth për α shumë afër zeros).  Atëherë: (1,02)^{3}=(1+0,02)^{3}\approx 1+3\cdot 0,02=1,06.  Gabimi absolut është  \Delta x=0,01  d.m.th vlera e saktë e shprehjes është në intervalin ]1,05;1,07[ . Llogaritim me makinë llogaritëse dhe kemi që  (1,02)^{3}=1,061208.  Gabimi relativ do të llogaritet nga raporti\frac{\Delta x}{x}=\frac{0,01}{0,06}(0,99)^{3}=(1-0,01)^{3}=...   etj.

Ushtrimi3

Tek kërkesa a pasi të kryesh shndërrimet (heq kllapat dhe redukton kufizat e ngjashme) përfundimi nuk ka y-in d.m.th në rastin tonë do të jetë numër. Tek kërkesa b shprehja pas shndërrimeve të njëvlershme del e barabartë me zero.

Ushtrim4

a)Faktorizoni fuqinë më të lartë të x-it, pastaj me grupim duke e shkruar shprehjen në kllapa x^{2}+x-1-1 dhe grupon të parën me të tretën etj.

b)x^{5}+x^{4}-2x^{3}=0\Leftrightarrow x^{3}(x^{2}+x-2)=0\Leftrightarrow x^{3}=0\vee x^{2}+x-2=0  etj. Në fund jsiperf drejtkendeshiepi përgjigje. Bashkësia e zgjidhjeve është…..

Ushtrim5

Shiko figurën:

Ushtrimi 6

Kujto ushtrimin 1 cila mënyrë është më e thjeshtë , duke zëvendësuar direkt apo duke kryer njëherë shndërrimin e shprehjes pastaj zëvendësimin.

Ushtrim7

Formulat e rëndësishme: (a-5)^{2}(a+5^)^{2}=\left [ (a-5)(a+5) \right ]^{2}=(a^{2}-25)^{2}=a^{4}-50a^{2}+625

Ushtrim8

Formulat e rëndësishme: x^{9}-y^{9}=(x^{3})^{3}-(y^{3})^{3}=(x^{3}-y^{3})(x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6})=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})(x^{6}+x^{3}y^{3}+y^{6})

Ushtrim9

Që të provojmë se një numër plotpjesëtohet me a atëherë duhet që numrin ta kthejmë në trojtë prodhimi disa faktorësh, ku njëri prej tyre do të jetë a-ja.  327^{3}+173^{3}=(327+173)(327^{2}-327\cdot 173+173^{2})=500(327^{2}-327\cdot 173+173^{2})\Rightarrownumri plotpjesëtohet me 500.

Ushtrim10

(x^{2}+2)^{2}-(x-2)(x+2)(x^{2}-4)-6x(0,5x-x^{2})=(x^{4}+4x^{2}+4)-(x^{2}-4)(x^{2}-4)-3x^{2}+6x^{3}=x^{4}+4x^{2}+4-(x^{4}-8x^{2}+16)-3x^{2}+6x^{3}=x^{4}+4x^{2}+4-x^{4}+8x^{2}-16-3x^{2}+6x^{3}=6x^{3}+5x^{2}-12

Ushtrim11

Formulat e rëndësishme. 8x^{4}-64x=8x(x^{3}-8)=8x(x^{3}-2^{3})=.....

Ushtrimi12

Faktorizim me grupim. 60+6ab-30b-12a=(60-30b)+(6ab-12a)=30(2-b)+6a(b-2)=30(2-b)-6a(2-b)=(2-b)(30-6a)=6(2-b)(5-a)

Ushtrim13

Ekuacionet të kthehen në trajtë prodhimi duke kthyer në trajtë prodhimi polinomin në anën e majtë.

a\cdot b=0\Leftrightarrow a=0\vee b=0

5x^{4}-20x^{2}=0\Leftrightarrow 5x^{2}(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow 5x^{2}(x-2)(x+2)=0\Leftrightarrow 5x^{2}=0\vee x-2=0\vee x+2=0 Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit është  A={-2;0;2}.

Ushtrimi14

x^{3}-x=x(x^{2}-1)=(x-1)\cdot x\cdot (x+1) . Numrat x-1,x dhe x+1 janë tre numra të njëpasnjëshëm. Të paktën njëri prej tyre plotpjesëtohet me 2 dhe njëri prej tyre plotpjesëtohet me 3. Prandaj prodhimi i tyre plotpjesëtohet me 2 dhe me 3 , pra me 6.

Ushtrim15

Veprime me makinë llogaritëse.

0

Zgjidhni sistemin e inekuacioneve me Google Chrome (M. Avancuar)

Shikoni këtë vsisteme inekuacioneshideo se si mund të caktojmë zonën e zgjidhjeve për një sistem inekuacionesh me dy të panjohura. Për të marrë zonën e zgjidhjeve,  inekuacionet duhet ti marrim me kah të kundërt sepse aplikacioni i chrome-s ngjyros zgjidhjen e inekuacionit.

 

 

 

0

Faktorizimi i Polinomeve

Metodat për faktorizimin e polinomeve:

1)Nxjerrja e faktorit të përbashkët

20x^{3}y^{2}-4x^{2}y+8x^{2}y^{2}=4x^{2}y(5xy-1+2y)  . Pjestuesi  më i madh i përbashkët i koeficientëve është 4, fuçia më e vogël e ndryshores x është x^{2} , ndërsa e ndryshores y është vët vetë y-ni. Prandaj faktori i përbashkët është  4x^{2}y.

2)Përdorimi i formulave të rëndësishme.

x^{3}y^{3}-1=(xy-1)(x^{2}y^{2}+xy+1)

36x^{2}-\frac{9}{4}y^{2}=(6x-\frac{3}{2}y)(6x+\frac{3}{2}y)

3)Faktorizimi me grupim. (Duke grupuar në mënyrë të përshtatshme kufizat e polinomit)

3x+yx-3y-y^{2}=(3x+yx)+(-3y-y^{2})=x(3+y)-y(3+y)=(3+y)(x-y)

 

9x^{4}-12x-6x^{3}+8=(9x^{4}-12x)+(-6x^{3}+8)=3x(3x^{3}-4)-2(3x^{3}-4)=(3x^{3}-4)(3x-2)

4)Kombinimi i mënyrave të ndryshme.

x^{3}+4x^{2}+4x=x(x^{2}+4x+4)+x(x+2)^{2}

x^{4}-2x^{3}+27x-54=(x^{4}-2x^{3})+(27x-54)=x^{3}(x-2)+27(x-2)=(x-2)(x^{3}+27)=(x-2)(x^{3}+3^{3})=(x-2)(x+3)(x^{2}-3x+9)

*Vërtetoni se 16^{4}-2^{13}-4^{5}  plotpjesëtohet me 11

16^{4}-2^{13}-4^{5}=(2^{4})^{4}-2^{13}-\left (2^{2} \right )^{5}=2^{16}-2^{13}-2^{10}=2^{10}(2^{6}-2^{3}-1)=2^{10}(64-8-1)=2^{10}\cdot 55=11\cdot 5\cdot 2^{10}është shumfish i 11 prandaj plotpjesëtohet me 11.

*Zgjidhni ekuacionin: 2x^{3}-4x^{2}+2x-4=0

2x^{3}-4x^{2}+2x-4=0\Leftrightarrow 2x^{2}(x-2)+2(x-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(2x^{2}+2)=0\Leftrightarrow (x-2)=0\Leftrightarrow x=2sepse   2x^{2}+2  është gjitmonë pozitiv.  Bashkësia e zgjidhjeve është A={2}.

0

Model testi për klasën e X-të bashkë me zgjidhjen.Kapitulli I dhe II baza.Zgjidhja

Model testi për klasën e X-të bashkë me zgjidhjen.Kapitulli I dhe II baza.

ZGJIDHJA

testf1

 

 

 

 

 

testf2

0

Formulat e Rëndësishme

Katrori i shumës: (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}

Katrori i diferencës: (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}

Diferenca e katrorëve: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)

Kubi i shumës: (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}

Kubi i diferencës:  (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}

Shuma e kubeve: a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})

Diferenca e kubeve: a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})

Për kryerjen e shëndrrimeve të njëvlershme të shprehjeve kërkohet njohja e këtyre formulave.

Shembuj të thjeshtë:

11^{3}=(10+1)^{3}=10^{3}+3\cdot 10^{2}\cdot 1+3\cdot 10\cdot 1^{2}+1^{3}=1000+300+30+1=1331

(2\sqrt{3}+\sqrt{5})\cdot (2\sqrt{3}-\sqrt{5})=(2\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}=12-5=7

17\cdot 23=(20-3)(20+3)=20^{2}-3^{2}=400-9=391

0

Monomet, Polinomet. Veprimet me polinome

polinomiDy shprehje janë identike në një bashkësi E nëse nuk kanë vlera të palejuara dhe për çdo vlerë të ndryshoreve i kanë vlerat përgjegjëse të barabarta.

Shndërrimi identik quhet zëvendësimi i një shprehje me një shprehje identike me të.

Monomi është shprehja që merret duke kryer mbi numrat dhe ndryshoret vetëm veprimet e shumzimit dhe të ngritjes në fuçi.

Monomi është i rregullt kur ka vetëm një faktor numerik, nuk ka kllapa, dhe nuk ka fuçi me baza të njejta.

Fuçi e monomit (në trajtë të rregullt) quhet shuma e eksponentëve të gjitha ndryshoreve.

Monomet që kanë pjesët shkronjore të njejta quhen të ngjashme.

Polinomi formohet nga disa monome. Polinomi është në trajtë të rregullt kur monomet janë në trajtë të rregullt dhe dhe nuk ka monome të ngjashme.

Veprimet me polinomet

Gjeni shumën dhe ndryshesën e polinomeve: 4x^{2}-3x+7  dhe -2x^{2}+x-3  (polinome të shkallës  së dytë)

\left (4x^{2}-3x+7 \right )+\left ( -2x^{2}+x-3 \right )=4x^{2}-3x+7-2x^{2}+x-3=\left ( 4x^{2}-2x^{2} \right )+(-3x+x)+(7-3)=2x^{2}-2x+4

\left (4x^{2}-3x+7 \right )-\left ( -2x^{2}+x-3 \right )=4x^{2}-3x+7+2x^{2}-x+3=(4x^{2}+2x^{2})+(-3x-x)+(7+3)=6x^{2}-4x+10

Kryeni shumzimin: (5x^{2}-x)\cdot (2x+1)

(5x^{2}-x)\cdot (2x+1)=5x^{2}\cdot (2x+1)-x(2x+1)=5x^{2}\cdot 2x+5x^{2}\cdot 1-x\cdot 2x-x\cdot 1=10x^{3}+5x^{2}-2x^{2}-x=10x^{3}+3x^{2}-x

Zgjidhni ekuacionin:(x+4)(x-1)-(x+3)(x-2)=5x

(x+4)(x-1)-(x+3)(x-2)=5x\Leftrightarrow x^{2}-x+4x-4-(x^{2}-2x+3x-6)=5x\Leftrightarrow x^{2}+3x-4-x^{2}-x+6-5x=0\Leftrightarrow -3x+2=0\Leftrightarrow 3x=2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}

Zgjidhje është numri 2/3.

0

Model testi për klasën e X-të bashkë me zgjidhjen.Kapitulli I dhe II baza.

1-Jepni me përshkrim bashkësitë:"uran korbi"

   a)Numrat realë  më të vegjël se 5 dhe më të mëdhenj se -2.

   b)Numrat irracional pozitivë

2-Gjeni prerjen dhe bashkimin e bashkësive: A=[5;10[ dhe B=[10;11[.  Paraqitni në boshtin numerik.

3-Paraqitni në planin kordinativ AxB nëse:

   a)A={1;2;3}, B=[1;2]

   b)A=[-1;0], B=[-1;0]

4-Zgjidhni ekuacionin   \pi \cdot x^{2}-\pi =0 

   a)në R    b) në N

5-Vërtetoni se 3+\sqrt{2}  është numër iracional.

6-Jepen pohimet:  p:”2<4″  dhe q:”2=1+3″.

   a)Formuloni konjunksionin dhe disnjunksionit e tyre dhe tregoni nëse është i vërtetë. 

   b)Formuloni implikimet p\Rightarrow q  dhe q\Rightarrow p.

7-Në mjedisin N jepen fjalitë: p(x):”x-8<0″  dhe q(x):”5x+1>21″

   Gjeni bashkësinë e vlerave të vërtetësisë së:

   a) p(x),q(x)  b) p(x)\wedge q(x)  c) p(x)\vee q(x) 

   d)  \overline{p(x)}\vee \overline{q(x)}   e)  \overline{p(x)}\wedge \overline{q(x)}

8-Marrim për \pi vlerën e përafruar 3,14 dhe për \sqrt{3}   1,73(gabimi absolut 0,01).

Tregoni gabimin relativ që bëjmë gjatë gjetjes  së \pi \cdot \sqrt{3}  dhe kufijtë ku përfshihen vlerat e sakta të këtij numri.

0

Teorema. Teorema e anasjelltë

Teorema është një implikim logjik që mund të paraqitet në formën: “Në bashkësinë E n.q.se p(x) atëherë q(x)”.

p(x) është kushti i teoremës, ndërsa q(x) është përfundimi i teoremës, Kurse bashkësia E është mjedisi ku shëyrtohet teorema.

1) Në çoftë se paralelogrami është romb atëherë diagonalet e tij janë pingule”

Kushti p(x):”Paralelogrami x është romb”.  Përfundimi q(x):”paralelogrami x ka diagonalet pingule”.  Mjedisi E bashkësia e paralelogrameve.teorema

2)”Nëse drjtëkëndëshi ka diagonalet pingule atëherë ai është katror”. Trego kushtin dhe përfundimin. Trego mjedisin.

Nëse në një teoremë ndërrojmë  kushtin me përfundimin marrim një implikim të ri. Nëse ky implikim është teoremë atëherë themi se teorema jonë ka teoremë të anasjelltë.

Shqyrtojmë teoremën: Nëse katërkëndëshi është katror, atëherë diagonalet e tij janë pingule” . Implikimi i anasjelltëështë: Nëse katërkëndëshi ka diagonalet pingule atëherë ai është katror”. Nuk është teoremë. Provoni të ndryshoni mjedisin E. ( merrni si mjedise bashkësinë e paralelogrameve, drejtëkëndëshave)

0

Implikimi. Njëvlershmëria

implikimiImplikim i dy pohimeve p, q është pohimi i ri p\Rightarrow q  (lexohet p sjell q, nga p rrjedh q, p imlikon q, q rrjedhim logjik i p, nëse p atëherëq) i cili është i gabuar vetëm në rastin kur p i vërtetë dhe q i gabuar.

Për të provuar se një implikim është i vërtetë mjafojmë të provojmë se nga vërtetësia e p rrjedh vërtetësia e q.

Shembuj
1-p:”Trekëndëshi ABC është dybrinjënjëshëm”, q: “Lartësia mbi bazë është mesore e bazës”

p\Rightarrow q:”Nëse trekëndëshi është dybrinjënjëshëm atëherë lartësia e tij mbi bazën është mesore e bazës” (V)

2-p:”4>5″,  q:”8>9″ 

p\Rightarrow q :”4>5 sjell 8>9″ (V)

Predikatin p(x)\Rightarrow q(x)  e quajmë implikim të dy predikateve p(x) e q(x). (Ky implikim kthehet në pohim të rremë vetëm kur p(x) është i vërtetë dhe q(x) i rremë)

Nëse çdo vlerë e x-it nga E që vërteton p(x), vërteton edhe q(x), Themi se q(x) është rrjedhim logjik i p(x) në E.

Nëse kemi njëherësh p(x)\Rightarrow q(x)  dhe  q(x)\Rightarrow p(x)  atëherë themi që p(x) është logjikisht i njëvlershëm me q(x). Shënohet p(x)\Leftrightarrow q(x) .

Ushtrim

Në bashkësinë N shqyrtojmë Predikatet:

a) p(x):”x plotpjesëtohet me 3″ , q(x):”x plotpjesëtohet me 9″

b) p(x):”x mbaron me zero”, q(x): “x plotpjesëtohet me 10”

Shqyrtojmë implikimet:

a) p(x)\Rightarrow q(x) :”Nëse x plotpjesëtohet me 3 atëherë plotpjesëtohet me 9″ . Jo i vërtetë  kundëshembulli 12 plotpjesëtohet me 3 por jo me 9.

q(x)\Rightarrow p(x) :”Nëse x plotpjesëtohet me 9 atëherë plotpjesëtohet me 3″ . I vërtetë. Numrat që plotpjesëtohen me 9 shkruhen si  9\cdot k  ku k\in N,   9\cdot k=3(3k)  tregon se është shumëfish i 3 d.m.th plotpjesëtohet me 3.

b) Të dy implikimet janë të vërteta. Kjo do të thotë se ato janë logjikisht të njëvlershme.

0

Konjunksioni, disnjnksioni i dy pohimeve (predikateve)

konjunk-disnjunksKonjunksion të dy pohimeve p, q quhet pohimi i ri p dhe q (pΛq) i cili është i vërtetë atëherë dhe vetëm atëherë kur të dy pohimet janë të vërteta.

Disnjunksion i dy pohimeve p, q quhet pohimi i ri p oseq (pVq) i cili është i vërtetë atëherë dhe vetëm atëherë kur të paktën njëri prej pohimeve është i vërtetë.

 

Shembuj:

1) p:”paralelogrami i ka brinjët e kundërta paralele” , q:”paralelogrami i ka brinjët e kundërta të barabarta”, 

      pΛq:”paralelogrami i ka brinjët e kundërta paralele dhe të barabarta”  (V)

      pVq:”paralelogrami i ka brinjët e kundërta paralele ose të barabarta”   (V)

2) p:”drejtëkëndëshi është paralelogram”  , q:”drejtëkëndëshi i ka diagonalet jo të barabarta”

      pΛq:”drejtëkëndëshi është paralelogram dhe ka diagonale jo të barabarta”   (G)

      pVq:”drejtëkëndëshi është paralelogram ose ka diagonale jo të barabarta”    (V)

3) p:”trapezi është paralelogram”,  q:”trapezi ka këndet e kundërta të barabarta”

     pΛq:”trapezi është paralelogram dhe ka këndet e kundërta të barabarta”   (G)

     pVq:”trapezi është paralelogram ose ka këndet e kundërta të barabarta”    (G)

VO!  Pohimi  5<7<9 është konjnksion i dy pohimeve: 5<7 dhe 7<9.   Pohimi 8≥6 është disnjunksion i dy pohimeve 8>6 ose 8=6.

Janë dhënë predikatet p(x), q(x) me bashkësitë e vlerave të vërtetësisë përkatësisht A dhe B.

Konjunksion i dy predikateve p(x) , q(x) quhet predikati p(x)Λq(x), icili ka si bashkësi të vlerave të vërtetësisë bashkësinë A∩B.

Disnjunksion i dy predikateve p(x) , q(x) quhet predikati p(x)Vq(x), icili ka si bashkësi të vlerave të vërtetësisë bashkësinë AUB.

Shembull

Në bashkësinë E={0,2,4,6,8,10} Jepen predikatet: p(x):”x<6″ , q(x):”x pjestues i 12″. Gjeni bashkësinë e vlerave të vërtetësisë së predikateve:

p(x),q(x),\overline{p(x)},\overline{q(x)},p(x)\wedge q(x),p(x)\vee q(x),\overline{p(x)}\wedge q(x),\overline{p(x)}\vee \overline{q(x)} 

p(x)   A={0,2,4} ,  q(x)  B={2,4,6}  ,

\overline{p(x)}   C_{E}^{A}={6,8,10} , \overline{q(x)}   C_{E}^{B}={0,8,10} , 

p(x)\wedge q(x)   A\cap B={2;4}  ,   p(x)\vee q(x)   A\cup B={0,2,4,6}

\overline{p(x)}\wedge q(x)     C_{E}^{A}\cap B={6}  ,   \overline{p(x)}\vee \overline{q(x)}   C_{E}^{A}\cup C_{E}^{B}={0,6,8,10}