FUNKSIONI, VARGU NUMERIK, EKUACIONE, INEKUACIONE, SISTEME Archive

0

Bashkësia e vlerave të funksionit numerik. Udhëzime. Matematika X avancuar

Funksionet që njihen deri tani nga nxënësit e klasës së X janë funksioni linear, përpjestimor i zhdrejtë dhe trinom i fuqisë dytë. Çdo nxënës duhet të ketë parasysh grafikët e tyre dhe mënyrën e ndërtimit të tyre. 

Për të gjetur bashkësinë e vlerave (shëmbëllimeve) duhet të kemi parasysh bashkësinë e përcaktimit të tyre, e cila mund të jetë R ose nënbashkësi e R e dhënë. Në shumë problema praktik duhet ta gjejmë vetë në varësi të kushteve të problemës, se çfarë vlerash mund të marrë ndryshorja x.

Problem 1

Bashkesia e vlerave1Shuma e kateteve të një trekëndëshi kënddrejtë është 14cm. Shprehni sipërfaqen e trekëndëshit në varësi të njërit katet x. Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit S(x). Për ç’vlerë të x-it merret vlera më e madhe e S.

Zgjidhje.

Shënojmë njërin katet me x, kateti tjetër do të ketë gjatësinë 14-x dhe sipërfaqja e trekëndëshit do të jepet me formulën S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x) .  Nëse ky funksion nuk do të kishte kuptim praktik atëherë bashkësia e përcaktimit do të jetë e gjithë R(bashkësia e vlerave të lejuara të x-it). Mirpo ndryshorja x në këtë rast shpreh gjatësinë e njërit katet prandaj duhet të jetë më e madhe se zero. Nga ana tjetër edhe kateti tjetër 14-x duhet të jetë më i madh se zero, prandaj shkruajmë: \left\{\begin{matrix} x>0\\ 14-x>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0\\ x<14 \end{matrix}\right.\Rightarrow E=]0;14[ . Zero dhe 14 nuk mund të jetë sepse nuk formohet trekëndësh.

Funksioni S(x)=\frac{1}{2}\cdot x\cdot (14-x)=7x-\frac{1}{2}x^{2} në gjithë R paraqet një parabolë me degë  poshtë dhe vlerën më të madhe e merr në kulmin e saj, prandaj në E do të jetë një pjesë e saj dhe llogjikisht x-i i kulmit do të jetë në E. x_{K}=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{2\cdot \frac{-1}{2}}=7. Në këtë rast trekëndëshi del dybrinjënjëshëm.

Problem 2

Bashkesia e vlerave2Nëse në një kopësht mbillen 20 pemë, sejcila prej tyre jep 60kg fruta në vit. Për çdo pemë të mbjellë tepër 20-tës prodhimi bie me 2 kg(në vit për pemë). Sa pemë duhet të mbjellim që të marrim prodhimin maksimal të tyre.

Udhëzim.

Shënojmë me x numrin e pemëve tepër numrit 20. Numri i pemëve do të jetë 20+x, kurse prodhimi për pemë do të jetë 60-2x. Funksioni jonë do të jetë P(x)=(20+x)(60-2x), i cili në R paraqet një parabolë me degë të kthyera poshtë. (shndërrojeni shprehjen). Kujdes tek bashkësia e përcaktimit sepse nuk mund të kemi 1,2 pemë. Nisuni nga fakti që edhe numri i pemëve edhe prodhimi  është pozitiv.

Problem 3

Bashkesia e vlerave3Kur çmimi i një bilete kinemaje është x lekë, numri i spektatorëve është 400-x. Shprehni arkëtimin si funksion të x-it. Gjeni bashkësinë e përcaktimit(vlerave të mundshme të x-it). Për ç’vlerë të x-it arkëtimi maksimal.

Udhëzim

A(x)=x(400-x) . Kemi parasysh që x është numër i plotë jonegativ. Pastaj zgjidhja do të jetë si tek rastete mësipërme.

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi. Zgjidhja

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Zgjidhja Zgjidhja e testit: KËTU  rryma

Ndjesë për vonesën. Arsyeja e ndërprerjes së RRYMËS.

Nëse nuk mund ta shikoni dokumentin shkarkoni adobe reader

0

Ekuacione, inekuacione, sisteme. Model testi.

Grupi…

1-Zgjidhni ekuacionet:

ekuac 1

 

 

 

 

 

2-Studioni shenjën e trinomit: 10x-x2    3pikë

3-Zgjidhni inekuacionin: (x2-6x+8)(x-2)≤0  në N.  4pikë

4-Zgjidhni sistemet e ekuacioneve dhe inekuacioneve:

ekuac 2

 

 

 

 

 

5-Për cilat vlera të m bashkësia e zgjidhjeve të inekuacionit mx2 -3x-1<0 është R.  3pikë

Zgjidhjet i gjeni KËTU

0

Ekuacione të thjeshta irracionale. Që përmbajnë vetëm një rrënjë.

Mënyra e zgjidhjes së ekuacioneve të thjeshta irracionale.

Hapat

  1. Në njërën anë të ekuacionit kalojmë kufizën që përmban rrënjën, kufizat tjera i kalojmë në anën tjetër.
  2. Ngrejmë dy anët në fuqi sa është treguesi i rrënjës dhe zgjidhim ekuacionin që përftohet.
  3. Bëjmë provën për sejcilën nga rrënjët.

Shembull

ekuacion irracional

0

Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve me një ndryshore.

  • Kur shumëzojmë ose pjesëtojmë dy anët e ekuacionit me një shprehje me ndryshore mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.
  • Kur ngrejmë dy anët e ekuacionit në fuqi çift mund të marrim një ekuacion jo të njëvlershëm me të parin.

Ekuacioni \frac{f(x)}{g(x)}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=0\\ g(x)\neq 0 \end{matrix}\right.  kjo për rastin e parë. Për rastin e dytë pasi gjejmë rrënjët bëjmë provën.

Shembuj

  1. \frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} . Fillimisht gjejmë mjedisin (x\neq \pm 1) .Gjejmë emëruesin e përbashkët të tre thysave  2(x-1)(x+1) dhe shumëzojmë dy anët me të.\frac{x+1}{2x-2}=\frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2}\Leftrightarrow 2(x-1)(x+1)\frac{x+1}{2(x-1)}=2(x-1)(x+1)\left ( \frac{x}{x-1}+\frac{7-2x}{2x+2} \right )\Leftrightarrow (x+1)^{2}=2x(x+1)+(x-1)(7-2x)....etj                            Shkuani bashkësinë e zgjidhjeve.
  1. \sqrt{x}=-x ngrejmë në katror dy anët. \left ( \sqrt{x} \right )^{2}=\left ( -x \right )^{2}\Leftrightarrow x=x^{2}\Leftrightarrow x^{2}-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\vee x=1 .                                 Bëjmë provën dhe shohim që vetëm numri 0 është rrënjë.

Plotësoni formën e mëposhtme për pyetje të ndryshme.

0

Ekuacione në trajtë prodhimi. Shndërrime jo të njëvlershme të ekuacioneve.

  • Çdo rrënjë e ekuacionit f(x)\cdot g(x)=0  është rrënjë e f(x) ose e g(x) d.m.th f(x)\cdot g(x)=0\Leftrightarrow f(x)=0\vee g(x)=0
  • Çdo rrënjë e f(x)=0  për të cilën ka kuptim g(x) është rrënjë e f(x)\cdot g(x)=0.

Shembull

  1. x^{3}-4x=0\Leftrightarrow x(x^{2}-4)=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}-4=0\Leftrightarrow x=0\vee x^{2}=4\Leftrightarrow x=0\vee x=-2\vee x=2                   Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;0;2}

 

  1. 2x^{3}-4x^{2}+3x-6=0\Leftrightarrow 2x^{2}(x-2)+3(x-2)=0\Leftrightarrow (x-2)(2x^{2}+3)=0\Leftrightarrow x-2=0\vee 2x^{2}+3=0.....etj

 

  1. (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0 . Fillimisht gjejmë mjedisin (vlerat e lejuara të ndryshores) 4-x^{2}\geq 0\Leftrightarrow x^{2}\leq 4\Leftrightarrow -2\leq x\leq 2\Leftrightarrow x\epsilon [-2;2] . E zgjidhim: (2x-6)\sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow 2x-6=0\vee \sqrt{4-x^{2}}=0\Leftrightarrow x=3\vee x=\pm 2 .                              Bashkësia e zgjidhjeve  A={-2;2}. Numri 3 nuk bën pjesë në mjedisin e ekuacionit.

Mund të pyesni për ushtrime të ndryshme duke plotësuar formën më poshtë.

0

Ekuacionet trinom. Ushtrime.

ekuacion1Ekuacionet e formës  ax2n+bxn+c=0 quhen ekuacione trinom. Ato zgjidhen duke zëvendësuar xn=t dhe zgjidhur ekuacionin at2+bt+c=0. Në fund kthehemi tek zëvendësimi. Kur n=2 kemi ekuacon bikuadrat.

Shembull: 

x10-31x5-32=0. zëvendësojmë x5=t. marrim t2-31t-32=0.Gjejmë dallorin pastaj me anë të formulës gjejmë  t1=-1 dhe t2=32. Zëvendësojmë  x5=-1 nga ku x=-1 dhe x5=32 nga ku x=2. Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit është A={-1;2}. 

Ushtrim

Zgjidhni ekuacionet:

a)(x^{2}-x)^{2}=4 . Zëvendësojmë x^{2}-x=t nga ku t^{2}=4\Rightarrow t=2\vee t=-2 . Shkojmë tek zëvendësimi dhe marrim dy ekuacione: x^{2}-x=2\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0  dhe x^{2}-x=-2\Leftrightarrow x^{2}-x+2=0 . I zgjidhim duke gjetur dallorin dhe gjejmë rrënjët:  -1 dhe 2 për të parin ndërsa i dyti nuk ka zgjidhje sepse dallori është negativ. Bashkësia e zgjidhjeve A={-1;2}

b)(x^{2}+2x)^{2}-14(x^{2}+2x)-15=0 . Zëvendësojmë  x^{2}+2x=t  marrim ekuacionin t^{2}-14t-15=0 dhe veprojmë si tek shembulli më sipër.

c)  4\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{4}-5\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+1=0 .  Fillimisht përcaktojmë mjedisin e ekuacionit (vlerat e lejuara të ndryshores x) që është R*. Zëvendësojmë \left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=t dhe kemi 4t^{2}-5t+1=0  nga ku t_{1}=\frac{1}{4}  dhe  t_{2}=1 .  Shkojmë tek zëvendësimi:  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \frac{1}{2}  ose  \left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm 1 . Zgjidhim 4 ekuacionet:

x+\frac{1}{x}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}+x+2=0

x+\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow 2x^{2}-x+2=0

x+\frac{1}{x}=-1\Leftrightarrow x^{2}+x+1=0

x+\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x+1=0  …. .

Nëse keni ndonjë pyetje  parashtrojeni tek formulari më poshtë.

0

Funksioni dhe vargu numerik. Model testi për kapitullin. Zgjidhja.

Zgjidhjet e ushtrimeve. TESTI

0

Function and numerical sequence

progresioni gjeometrik1Find the domain of the function: Read the rest of this entry »

0

Ushtrime. Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e n-të.

Ushtrim 1progresioni gjeometrik

Shkruani formulën e kufizës së n-të për progresionin gjeometrik  sinα, 3sinα, ……

y_{1}=sin\alpha ,q=\frac{3sin\alpha }{sin\alpha }=3\Rightarrow y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}=sin\alpha \cdot 3^{n-1}

Ushtrim 2

Në progresionin gjeometrik me 5 kufiza, kufiza e fundit është \frac{16}{27}. Gjeni kufizën e parë nëse herësi është -\frac{2}{3} .

q=-\frac{2}{3},y_{5}=\frac{16}{27} .  y_{5}=y_{1}\cdot q^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \frac{16}{81}\Rightarrow y_{1}=3 .

Ushtrim 3

Gjeni numrin e kufizave të progresionit gjeometrik në të cilin y_{1}=3,q=\frac{1}{2},y_{n}=\frac{3}{64} .

Shkruajmë formulën për kufizën e përgjithshme y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow \frac{3}{64}=3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}….etj.

Ushtrim 4

Tregoni nëse vargjet e mëposhtme janë progresione gjeometrike.  a) y_{n}=3\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{n},n\epsilon N.  b)y_{n}=5\cdot n,n\epsilon N.  c)y_{n}=\left ( -2 \right )^{n},n\epsilon N.

Vlersojmë raportin  \frac{y_{n}}{y_{n-1}}    , që të jetë progresion gjeometrik ky raport duhet të jetë numër.  c)\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{(-2)^{n}}{(-2)^{n-1}}=(-2)^{n-(n-1)}=-2   d.m.th është progresion gjeometrik me q=-2.

Ushtrim 5

Në progresionin gjeometrik gjeni y1 dhe q kur dihet se: \left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}\cdot q-y_{1}=-4\\ y_{1}\cdot q^{2}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}(q-1)=-4\\ y_{1}(q^{2}-1)=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{q^{2}-1}{q-1}=\frac{8}{-4}\Rightarrow q+1=-2\Rightarrow q=-3  zëvendësojmë tek njëri ekuacion tek hallka e tretë y_{1}(-3-1)=-4\Rightarrow y_{1}=1

(Nuk ka ndonjë metodë të caktuar për zgjidhjen e sistemeve. Tek hallka e tretë kemi pjesëtuar dy ekuacionet anë për anë. q≠1 dhe yn≠0)

0

Progresioni Aritmetik, Gjeometrik

Përkufizimet

Progresion aritmetik është vargu në të cilin NDRYSHESA e çdprogresiono kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR)

Progresion gjeometrik është vargu në të cilin RAPORTI i çdo kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR). Kuptohet se kufizat në këtë rast janë të ndryshme nga zero.

Kryesoret që duhet të dihen

Për të provuar nëse një varg është progresion aritmetik ose gjeometrik duhet të vlerësohet  DIFERENCA y_{n}-y_{n-1},  ose RAPORTI  \frac{y_{n}}{y_{n-1}} ,

Shembull: Jepet vargu y_{n}=5\cdot 3^{n+1} .  

y_{n}-y_{n-1}=5\cdot 3^{n+1}-5\cdot 3^{(n+1)-1}=5\cdot (3^{n+1}-3^{n})=5\cdot (3^{n}\cdot 3^{1}-3^{n})=5\cdot 3^{n}\cdot (3-1)=10\cdot 3^{n} .  Nuk është progresion aritmetik sepse për vlera të ndryshme të n DIFERENCA merr vlera të ndryshme, pra nuk është konstante.

\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{5\cdot 3^{n+1}}{5\cdot 3^{n}}=3^{n+1-n}=3=q . Është progresion gjeometrik sepse sido që të jetë n-ja RAPORTI është i barabartë me 3 , KONSTANT.

Për të treguar se nuk është progresion mund të veprohet edhe duke marrë dhe vlerësuar dy diferenca(raporte). Tek shembulli më sipër  y1=45, y2=175, y3=405.   y3-y2=230 ndërsa y2-y1=130

Formulat

Për progresionin Aritmetik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}+(n-1)d\\ S_{n}=\frac{y_{1}+y_{n}}{2}\cdot n \end{matrix}\right.

Për progresionin Gjeometrik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\\ S_{n}=y_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{matrix}\right.

Sn-shuma e n kufizave të para të progresionit. yn-kufiza e n-të e progresionit. y1-kufiza e parë. d-ndryshesa. q-herësi.

Për progresionet mund të arsyetojmë se kur janë rritëse ose zvogluese. (metoda tek vargjet)

Vargu konstant është edhe progresion aritmetik edhe gjeometrik. Pse?

0

Vargu numerik.

Vargjet numerike janë funksione me bashkësi përcaktimi bashkësinë e numrave natyrorë ose k-numrat e parë natyrorë. (Në rastin e parë vargu është i pafundëm, në të dytin i fundëm)

Shembull: 3, 5, 7, 9, 11, 13. Në këtë varg të fundëm në të cilin janë treguar gjithë kufizat kemi a_{1}=3, a_{2}=5..  Duke e parë si funksion E={1,2,3,4,5,6} kurse F={3,5,7,9,11,13}. 

Mënyrat e dhënies së vargut: Mënyra e parë është duke dhënë të gjitha kufizat e vargut (si tek shembulli më sipër)

Mënyra e dytë është dhënia me anë të një formule që shpreh lidhjen e çdo kufize të saj me treguesin psh a_{n}=5n-1 . Për të gjetur kufizën e dhjetë do të zëvendësojmë tek treguesi numrin 10  a_{10}=5\cdot 10-1=49

Mënyra e tretë mënyra rekurente në të cilën kufizat e vargut tregohen duke dhënë kufizën e parë dhe një formulë që jep lidhjen e çdo kufize me kufizën paraardhëse, psh \left\{\begin{matrix} a_{1}=4\\ a_{n}=5a_{n-1}+2 \end{matrix}\right..

Ushtrim 1

Tregoni 4 kufizat e para të vargut: y_{n}=\frac{n+2}{n}    Zgjidhje: y_{1}=\frac{1+2}{1}=3,  y_{2}=\frac{2+2}{2}=2y_{3}=\frac{3+2}{3}=\frac{5}{3} , y_{4}=\frac{4+2}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} .

Ushtrim 2

Për vargun y_{n}=2^{n-1}  gjeni y_{n+1} , y_{n-1}y_{n}+1y_{n}-1 , \frac{1}{y_{n}} . Në vend të n zëvendësojmë n+1, n-1  etj.\frac{1}{y_{n}}=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}.

Ushtrim 3

vargu2Jepet vargu: y_{n}=n^{2}-9n\epsilon N. Paraqitni grafikisht 4 kufizat e para të vargut. Ndërtoni grafikun e funksionit y=x^{2}-9 në segmentin \left [ 1;4 \right ].

Krahasoni dy grafikët e ndërtuar.

vargu3

y_{1}=1^{2}-9=-8 , y_{2}=2^{2}-9=-5 , y_{3}=3^{2}-9=0 , y_{4}=4^{2}-9=7.

Grafiku ka vëtm 4 pika A(1;-8), B(2;-5), C(3;0) dhe D(4;7). Nërsa grafiku i funksionit y=x^{2}-9 është një pjesa AB e pashkëputur e parabolës. 

Grafiku i vargut është një bashkësi pikash në sistemin kordinativ të cilat kanë kordinatën e parë numër natyror.

Ushtrim 4

Jepet vargu y_{n}=n^{2}-1. Tregoni nëse janë kufiza të vargut numrat: 24, 98.

Që të jenë kufiza të vargut duhet të ekzistojë një n nga N e tillë që   y_{n}=24 dhe për tjetrën  y_{n}=98 y_{n}=98\Rightarrow n^{2}-1=98\Rightarrow n^{2}=99\Rightarrow n=\sqrt{99}\Rightarrow 98 nuk është kufizë e vargut sepse \sqrt{99}\notin N.

0

Bashkësia e përcaktimit të funksionit. (Mat bazë). Ushtrime2

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksioneve: 1) y=\frac{1}{\left | x \right |-5} , 2)y=\frac{1}{\left | x-5 \right |} , 3)y=\sqrt{\left | x \right |-2} , 4)y=\sqrt{4-\left | x \right |} . 

1) \left | x \right |-5\neq 0\Rightarrow \left | x \right |\neq 5\Rightarrow x\neq \pm 5   d.m.th E=]-\infty ;-5[\cup ]-5;5[\cup ]5;+\infty [

2)\left | x-5 \right |\neq 0\Rightarrow x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5\Rightarrow E=]-\infty; 5[\cup ]5;+\infty [

3)\left | x \right |-2\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\geq 2\Rightarrow E=]-\infty ;-2]\cup [2;+\infty [   .Kuptimi i vlerës absolute, e cila tregon largesën nga origjina, kështu mosbarazimi  \left | x \right |\geq 2  mund të përkthehet “cilat pika në boshtin numerik kanë largesën nga origjina më të madhe ose të barabartë me 2”.

4)4-\left | x \right |\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\leq 4\Rightarrow -4\leq x\leq 4\Rightarrow E=[-4;4] . Pikat që kanë largesën nga origjina më të vogël se 4.

0

Bashkësia e përcaktimit të funksionit. (Mat bazë). Ushtrime1

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

1)y=\sqrt{1-\frac{1}{x}} ;  2) y=\frac{1}{(x-2)\sqrt{x-5}} ; 3) y=\sqrt{2x-8}+\sqrt{6-x} ; 4)y=\sqrt{\left (2x-8 \right )\left ( 6-x \right )} ;  5)y=\sqrt{2x-8}\cdot \sqrt{6-x} ;  6) y=\sqrt{\frac{}{2x-8}{6-x}} .

1)1-\frac{1}{x}\geq 0\Rightarrow \frac{x-1}{x}\geq 0  (inekuacionet në trajtë prodhimi ose raporti, të cilat zgjidhen me anë të tabelave si më poshtë) . Hapi i parë gjejmë rrënjët e faktorëve. Në rastin tonë janë numrat 1 për numëruesin dhe 0 për emëruesin. Hapi i dytë ndërtojmë tabelën. Hapi i tretë nga tabela i japim përgjigje. E=]-\infty ;0[\cup [1;+\infty [funksioni2

 

2)Vendosim kushtet: x-2\neq 0  dhe x-5>0.  atëherë kemi E=\left \{ x\epsilon R/x>5\wedge x\neq 2 \right \}=\left \{ x\epsilon R/x>5 \right \}=]5;+\infty [
3) dhe 5) kanë të njejtat kushte pra të njejtën bashkësi përcaktimi. 2x-8\geq 0  dhe 6-x\geq 0 që ndryshe shkruhet: \left\{\begin{matrix} 2x-8\geq 0\\ 6-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 8\\ -x\geq -6 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 4\\ x\leq 6 \end{matrix}\right.   Prandaj bashkësia e përcaktimit  E=[4;6]. Verefikojeni me anë të boshtit numerik.
4) dhe 6) ndryshojnë vetëm për x=6. 
funksioni3Shkruajmë kushtet për të dyja dhe ndërtojmë tabelat përkatëse. (2x-8)(6-x)\geq 0 dhe për  ushtrimin6) \frac{2x-8}{6-x}\geq 0 . Për U4  E=[4;6] ,funksioni4
 
 për  U6  E=[4;6[
0

Grafiku i funksionit numerik.Mënyra praktike e ndërtimit të grafikëve të disa funksioneve.


Bashkësia e gjithë pikave (x;f(x)) në planin kordinativ xOy quhet grafik i funksionit y=f(x), ku x\epsilon X.

Nëse na jepet grafiku i një funksioni atëherë:

Me anë të tij mund të gjejmë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave duke e projektuar grafikun përkatësisht mbi boshtin Ox dhe Oy.

Për çdo fytyrë a mund të gjejmë shëmbëllimin e saj f(a), që është ordinata e pikës me abshisë a në grafik.

Mënyra praktike e ndërtimit të grafikëve të disa funksioneve.

funksioni linear2

funksioni linear11)Funksioni linear y=ax+b grafikisht paraqitet me anë të një drejtëze. Duke ditur që nëpër dy pika kalon një dhe vetëm një drejtëz, atëherë për ndërtimin e saj na mjaftojnë vetëm dy pika. Zakonisht merren pikat e prerjes me boshtet kordinative.

2)Funksioni përpjestimor i zhdrejtë y=\frac{a}{x} . Grafiku ka dy pjesë simetrikë në lidhje me O. Ato janë në kuadrant të parë dhe tretë kur a>0, ose në të dytin dhe katërtin kur a<0. Duhet të fiksohet forma e grafikut dhe mjafton të merren disa pika ndihmëse në njërën pjesë.

funks perpjest zhdrejte1funks perpjest zhdrejte2

3)Funksioni trinom i fuqisë së dytë y=ax2+bx+c. Grafiku është një parabolë me degë lart kur a>0, me degë poshtë kur a<0.

Ndërtimi i parabolës.

Në fillim gjejmë kulmin C të parabolës i cili ka kordinatat \left ( \frac{-b}{2a};\frac{-D}{4a} \right ). Pastaj marrim disa pika ndihmëse majtas dhe djathtas kulmit, në mënyrë simetrike (4ose 6 pika).parabola

0

Relacioni. Funksioni. (Mat Bazë) Pjesa teorike

funksioni1Le të jenë  X dhe Y dy bashkësi të çfardoshme. Çdo lidhje ndrërmjet elementeve të bashkësisë X me elementet e bashkësisë Y përbën një Relacion ndërmjet tyre.

Kujtojmë prodhimin kartezian të dy bashkësive: XxY=\left \{ (x;y)/x\epsilon X\wedge y\epsilon Y \right \} . Çdo nënbashkësi e prodhimit kartezian përbën një relacion ndërmjet tyre. Zakonisht relacioni tregohet me anë të një fjalie që tregon mënyrën e lidhjes së elementeve. Nënbashkësia G e çifteve të radhitura sipas mënyrës së lidhjes quhet graf i relacionit.

Shembull:

Jepen bashkësitë:X={1,2,3,4,5,6} dhe Y={0,1,3,5}. Relacioni R:”x+y është numër tek” . Sipas këtij relacioni numri 2 p.sh lidhet me numrin 1 me 3 dhe me 5.

X është bashkësia e fillimit të relacionit

Y është bashkësia e mbarimit të relacionit

G={(1;0),(2;1),(2;3),(2;5),(3;0),(4;1),(4;3),(4;5),(5;0),(6;1),(6;3),(6;5)} është grafi i relacionit

Në relacion çdo element i bashkësisë së fillimit çiftohet me një, disa ose asnjë element të bashkësisë së mbarimit.

Funksioni

Relacioni me fillim në X dhe mbarim në Y në të cilin çdo element i X-it lidhet me një element të Y-it quhet funksion.

Nëse x1 nga X  është lidhur me y1nga Y, atëherë x1 quhet fytyrë kurse y1quhet shëmbëllim ose vlerë e funksionit. Bashkësia e gjithë fytyrave quhet bashkësi e përcaktimit të funksionit, kurse bashkësia e shëmbëllimeve quhet bashkësi e vlerave të funksionit. Të dyja janë nënbashkësi përkatësisgt të X-it dhe Y-it.

Kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë funksioni quhet numerik.