PLANIMETRIA, TRIGONOMETRI Archive

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Ushtrime të zgjidhura PDF

zgjidhja e trekendeshit1Ushtrime të dhëna në minitest për zgjidhjen e trekëndëshit. Zgjidhjet në PDF mund ti shkarkoni KËTU. 

Variante të ndryshme të gjetjes së elementeve të trekëndëshit kur njihen disa prej tyre.

0

Zgjidhja e trekëndëshit. Dy shembuj të zgjidhur.

Të zgjidhësh një trekëndësh do të thotë të gjesh elementet e panjohura të tij.

Ushtrim 1

zgjidhja e trekendeshit1Zgjidhni trekëndëshin kur: a=14,5cm; β=480; γ=64

zgjidhje

Fillimisht gjejmë këndin α=1800-(480+640)=680. Me anë të teoremës së sinusit gjejmë  b dhe c. \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }\Rightarrow \frac{14,5}{sin68^{0}}=\frac{b}{sin48^{0}}=\frac{c}{sin64^{0}}  nga ku b=\frac{14,5\cdot sin48^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,7431}{0,9272}\approx 11,62cm.  c=\frac{14,5\cdot sin64^{0}}{sin68^{0}}=\frac{14,5\cdot 0,8988}{0,9272}\approx 14cm

Ushtrim 2

Zgjidhni trekëndëshin kur: a=110m; b=800m; γ=420 .

Zgjidhje 

Fillimisht gjejmë c me teoremën e kosinusit c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot cos\gamma =110^{2}+800^{2}-2\cdot 110\cdot 800\cdot 0,7431\approx 521314\Rightarrow c\approx 722m. Duke përdorur teoremën e sinusit shkruajmë: sin\alpha =\frac{a\cdot sin\gamma }{c}=\frac{110\cdot 0,6691}{722}=0,1019\Rightarrow \alpha \approx 6^{0}sin\beta =\frac{b\cdot sin\gamma }{c}=\frac{800\cdot 0,6691}{722}=0,7413\Rightarrow \beta \approx 132^{0}

0

Trigonometri. Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime.

1.Vërtetoni identitetin: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =1

Shndërrojmë anën e majtë: [sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =[sin\alpha -cos\alpha ]^{2}+cotg\alpha -cotg\alpha +2cos\alpha \cdot sin\alpha =sin^{2}\alpha -2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha =sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1

2.Për ç’vlerë të këndit α shprehjet e mëposhtme nuk kanë kuptim.

a)\frac{1}{1-sin\alpha }; b)\frac{cos\alpha }{1-cos\alpha }; c)\frac{2}{tg\alpha -1}

Do të zgjidhim ekuacionet: 1-sin\alpha =0; 1-cos\alpha =0; tg\alpha -1=0

trigonometri43.Në figurë është ndërtuar trekëndëshi këndgjerë ABC dhe lartësia e tij CH. Provoni teoremën e kosinusit edhe në rastin e këndit të gjerë.

a^{2}=BH^{2}+CH^{2}\frac{CH}{b}=sin(180-\alpha )=sin\alpha \Rightarrow CH=b\cdot sin\alpha

\frac{AH}{b}=cos(180-\alpha )=-cos\alpha \Rightarrow AH=-b\cdot cos\alpha

a^{2}=(AH+AB)^{2}+CH^{2}=(c-bcos\alpha )^{2}+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}-2bc\cdot cos\alpha +b^{2}cos^{2}\alpha+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}+b^{2}(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )-2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha

trigonometri54.Brinjët e trekëndëshit ABC janë AB=10cm, AC=12cm dhe BC=14cm. Gjeni kosinusin e këndit BAC. Gjeni gjatësinë e mesores BM. 

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha \Rightarrow 2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-a^{2}\Rightarrow cos\alpha= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{144+100-196}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{48}{240}=\frac{1}{5}

BM^{2}=c^{2}+(\frac{b}{2})^{2}-2\cdot c\cdot \frac{b}{2}\cdot cos\alpha =100+36-120\cdot \frac{1}{5}=112\Rightarrow BM=\sqrt{112}

0

Trigonometri. konceptet kryesore.

trigonometri1Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në trekëndëshin kënddrejtë.

1.sinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit përballë tij me hipotenuzën.

2.kosinus i këndit alfa është numri i barabartë me raportin e gjatësive të katetit anëshkruar tij me hipotenuzën.

3.tangenti i këndit alfa është është numri që jepet nga raporti i sinusit me kosinusin e tij.

4.kotangenti i këndit alfa është numri që jepet nga raporti i kosinusit me sinusin e tij.

trigonometri2Përkufizimet e funksioneve trigonometrike në gjysëmrrethin trigonometrik.

1.sinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me ordinatën e pikës M

2.kosinus i këndit alfa quhet numri i barabartë me abshisën e pikës M

Teorema e kosinusit

Në çdo trekëndësh katrori i njërës brinjë është i barabartë me shumën e katrorëve të du brinjëve të tjera minus dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit ndërmjet.

Teorema e sinusit

Në çdo trekëndësh, raporti i sejcilës brinjë me sinusin e këndit përballë saj, është konstant i barabartë me diametrin e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit.

trigonometri3Formula për sipërfaqen e trekëndëshit: 1) S=\frac{1}{2}b\cdot c\cdot sin\alpha; 2)S=\frac{abc}{4R} ; (R rrezja e rrethit të jashtëshkruar trekëndëshit)

3)S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}  (ku p është gjysma e perimetrit të trekëndëshit)

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Detyrë Kontrolli

ngjashmeria30Detyra e kontrollit për nxënësit e klasave ta X-ta.Ngjashmëria e trekëndëshave. Pjestimi i polinomit me x-c. Kliko KËTU për të parë ushtrimet sipas grupeve.   

Zgjidhja GRUPI A. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI B. Kliko KËTU

Zgjidhja GRUPI C. Kliko KËTU

0

Planimetria. Ushtrime, shembuj.

ngjashmeria30Ushtrim 1

Tregoni pse janë të ngjashëm trekëndëshat në figurë. Gjeni x-in.

Trekëndëshat janë të ngjashëm sepse kanë nga një kënd të barabartë dhe brinjët e këtij këndi përkatësisht përpjestimore.

\angle ABD=\angle BDC dhe   \frac{DC}{BD}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2} . Atëherë \frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2 .

Ushtrim 2

Gjeni këndin e 10-këndëshit të rregullt. Gjeni këndin qëndror të tij.

\alpha _{10}=\frac{180^{0}(10-2)}{10}=\frac{180^{0}\cdot 8}{10}=144^{0}.  \beta _{10}=\frac{360^{0}}{10}=36^{0}

Ushtrim 3

Brinja e katrorit të brendashkruar në rreth është 2cm. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të rregullt  të brendashkruar në këtë rreth.

a_{4}=2\Rightarrow R\sqrt{2}=2\Rightarrow R=\sqrt{2}   (Gjejmë rrezen e rrethit jashtëshkruar katrorit) a_{3}=R\sqrt{3}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6} . Shkruajmë formulën për sipërfaqen e trekëndëshit S_{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} . S_{3}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} .

Ushtrim 4

Njëra diagonale e trapezit është 15cm. Ajo e ndan diagonalen tjetër në dy pjesë me gjatësi 2cm dhe 5cm.Të gjenden segmentet e diagonales së parë.

Pjesët e diagonales do të jenë x dhe 15-x. Tregojmë pse dy trekëndëshat janë të ngjashëm dhe shkruajmë raportet. \frac{2}{5}=\frac{x}{15-x}\Rightarrow 5x=30-2x\Rightarrow 7x=30\Rightarrow x=\frac{30}{7} .

0

Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime. Simetria e shumëkëndëshave të rregullt.

ngjashmeria25Ushtrim 1

Në figurë ABCD është katror dhe MNP është trekëndësh barabrinjës. sipërfaqja e pjesës së ngjyrosur është 3 hërë më e madhe se sipërfaqja e trekëndëshit MNP. Të gjendet brinja e katrorit nëse MN=2cm.

Gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit. Sipërfaqja e katrorit do të jetë 4 herë më e madhe se sipërfaqja e trekëndëshit. d.m.th. AB^{2}=4\frac{MN^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} …etj.

Ushtrim 2

ngjashmeria26Në figurë jepet AH=2cm, EF//BC dhe SAEF =SBFEC . Të gjendet AP.

\Delta ABC\sim \Delta AEF

S_{AEF}=S_{EBCF}\Rightarrow S_{ABC}=2S_{AEF}\Rightarrow k^{2}=2\Rightarrow k=\sqrt{2}

\frac{AH}{AP}=\sqrt{2}….

Ushtrim 3

ngjashmeria27Në figurë jepet S_{ABC}=2S_{DEC} , AC=8cm Të gjendet EC.

\Delta ABC\sim \Delta EDC.  Njëlloj me ushtrimin e mësiperm gjejmë koeficientine ngjashmërisë dhe shkruajmë raportet e brinjëve.   \frac{AB}{ED}=\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}  ….etj.

Ushtrim 4

Të vërtetohet se diagonalet e një shumëkëndëshi të rregullt që dalin nga i njejti kulm e ndajnë këndin në pjesë të barabarta.

Shumëkëndëshit të rregullt i jashtëshkruhet rrethi. Këndet që formohen janë kënde rrethore që mbështeten mbi harqe të barabarta. Tregoje me figurë.

Ushtrim 5

ngjashmeria28Në figurë rrathët e vizatuar janë të barabartë. Të gjendet raporti i sipërfaqeve të ngjyrosura.

Shënojmë S1 të parën dhe S2 sipërfaqen e dytë. S_{1}=(2R)^{2}-\pi R^{2}=(4-\pi )R^{2} .

Brinja e katrorit tek figura e dytë është R\sqrt{2}S_{2}=\pi R^{2}-(R\sqrt{2})^{2}=\pi R^{2}-2R^{2}=(\pi -2)R^{2} …..etj.

0

Simetria e Shumëkëndëshave të rregullt. Ushtrime, Udhëzime.

ngjashmeria22Ushtrim 1

Në një rreth me rreze 4cm është brendashkruar një trekëndësh barabrinjës dhe mbi njërën brinjë të tij është ndërtuar një katror. Të gjendet rrezja e rrethit jashtëshkruar katrorit.

Rrezja e rrethit jashtëshkruar katrorit është 1/2 e diagonales së tij. Gjejmë brinjën e trekëndëshit AB=r\sqrt{3}=4\sqrt{3}\Rightarrow AE=AB\sqrt{2}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}…etj.

Ushtrim 2

Në një rreth me rreze 6cm brendashkruhet trekëndëshi barabrinjës. Të gjendet pjesa e sipërfaqes së qarkut që ndodhet jashtë trekëndëshit.ngjashmeria23

Gjejmë sipërfaqen S1 të rrethit, sipërfaqen S2 të trekëndëshit. Pjesa e vijëzuar është S1-S2.

Sipërfaqja e rrethit S=\pi r^{2}  Sipërfaqja e trekëndëshit barabrinjës   S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} .

Ushtrim 3

Në rrethin me rreze R ndërtohen kordat AB=R\sqrt{2};BC=R;CD=R\sqrt{3}. Të gjendet AD dhe këndet e katërkëndëshit ABCD.

AB është brinja e katrorit brendashkruar, BC e gjashtëkëndëshit dhe CD e trekëndëshit brendashkruar rrethit. ngjashmeria24BC^{2}+CD^{2}=R^{2}+3R^{2}=4R^{2}=BD^{2}.   BD=2R (diametri i rrethit)  AD^{2}=BD^{2}-AB^{2}=4R^{2}-2R^{2}=2R^{2}\Rightarrow AD=AB=R\sqrt{2}.   \angle BAD=\angle BCD=90^{0} sepse mbështeten mbi diametër. Trekëndëshi ABD dybrinjënjëshëm \angle ABD=\angle ADB=45^{0}.BC=\frac{1}{2}BD=R\Rightarrow \angle BDC=30^{0}; \angle DBC=60^{0}…etj.

0

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt. Udhëzime për ushtrimet.

Ushtrim 1

Të vërtetohet se diagonalet e peskëndëshit të rregullt janë të barabarta.ngjashmeria20

Shqyrtojmë 5 trekëndëshat dybrinjënjëshëm që formohen. Rasti i parë i kongruencës…etj.

Ushtrim 2

Rrethit me rreze r=5cm i jashtëshkruhet trekëndëshi i rregullt. Të gjendet brinjë e tij.

Në trekëndëshin OEB OB=2r (pse). Zbatojmë teoremën e Pitagorës  EB^{2}=OB^{2}-OE^{2}\Rightarrow EB^{2}=(2r)^{2}-r^{2}=3r^{2}\Rightarrow EB=r\sqrt{3}

Nga ku BC=2r\sqrt{3}=10\sqrt{3}

Ushtrim 3

ngjashmeria21Brinja e trekëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth është 6cm. Të gjendet brinja e katrorit të brendashkruar rrethit.

Fillimisht gjejmë OC=r (rrezja e rrethit brendashkruar). Në trekëndëshin këddrejtë OMC r^{2}-\left ( \frac{1}{2}\cdot r \right )^{2}=9\Rightarrow r=2\sqrt{3}\Rightarrow DC=4\sqrt{3}. DC është diagonalja e katrorit. a\sqrt{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow a=2\sqrt{6}  ku a është brinja e katrorit.

Ushtrim 4

Brinja e katrorit të brendashkruar në një rreth është 10cm. Të gjendet brinja e trekëndëshit të rregullt të brendashkruar në këtë rreth.

Në të njëjtën figurë më sipër, Diagonalja e katrorit është 10\sqrt{2}\Rightarrow OC=5\sqrt{2}\Rightarrow OM=\frac{5\sqrt{2}}{2} . Gjejmë CM me teoremë të Pitagorës.  BC=2CM.

0

Ndërtimi dhe simetria e shumëkëndëshave të rregullt

Nngjashmeria17DËRTIMI

Këtu do të keni mënyrat se si ndërtohen disa prej shumëkëndëshave të rregullt.

1)Katrori

Ndërtohen dy diametra pingul në një rreth.

2)gjashtëkëndëshi i rregullt.

Këndi qendror është 600. Brinjët e gjashtëkëndëshit të rregullt janë sa rrezja e rrethit jashtëshkruar. Prandaj pasi vizatojmë një rreth, e ndajmë atë me anë ta kompasit në 6 pjesë. Bashkojmë me anë të kordave, dhe shumëkëndëshi i formuar është gjashtëkandësh i rregullt.

3)Trekëndëshi i rregullt.

Pasi kemi ndarë rrethin në gjashtë pjesë të barabarta bashkojmë pikat e ndarjes duke kapërcyer njërën. Të parën me të tretën, të tretën me të pestën dhe të pestën me të parën.

Provoni veten duke bërë vërtetimet për sejcilin rast. Pra tregoni se janë katërkëndësg, gjashtëkëndësh dhe trekëndësh i rregullt.

SIMETRIAngjashmeria18

1)Trekëndëshi barabrinjës.

Ka tre boshte simetrie, nuk ka qendër simetrie.

2)Katrori ka 4 bngjashmeria19oshte simetrie dhe 1 qendër simetrie.

3)Në përgjithësi n-këndëshi i rregullt ka n boshte simetrie. Kur numri n është tek shumëkëndëshi nuk ka qendër simetrie, ndërsa kur n është çift ai ka një qendër simetrie.

Në shkrimin tjetër lexoni për simetrinë qëndrore dhe simetrinë boshtore.

0

Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt.

ngjashmeria16Çdo shumëkëndëshi të rregullt i jashtëshkruhet dhe brendashkruhet rrethi. Të dy rrathët kanë të njejtën qendër, e cila quhet qendër e shumëkëndëshit.

Këndi i  një n-këndëshi të rregullt jepet me formulën: \alpha _{n}=\frac{180^{0}(n-2)}{n} .Këndi qëndror që mbështetet mbi një brinjë të shumkëndëshit jepet me formulën: \beta _{n}=\frac{360^{0}}{n} .

Ushtrim 1

Këndi qëndror i një shumëkëndëshi të rregullt është 4 herë më i vogël se këndi i shumëkëndëshit. Sa brinjë ka ky shumëkëndësh.

\alpha _{n}=4\cdot \beta _{n}\Rightarrow \frac{180^{0}(n-2)}{n}=4\cdot \frac{360^{0}}{n}\Rightarrow 180^{0}(n-2)=4\cdot 360^{0}\Rightarrow n-2=8\Rightarrow n=10

Kemi të bëjmë me 10-këndësh.

Plotësoni testin e mëposhtëm (prova)

1. Këndi i 8-këndëshit të rregullt është:
2. Këndi qëndror i katërkëndëshit të rregullt është:
3. Këndi qëndror i një shumëkëndëshi të rregullt është 200. Gjeni numrin e brinjëve.
4. Njëri prej shumëkëndëshave të mëposhtëm nuk është i rregullt
5. Numri i diagonaleve të 6-këndëshit të rregullt është:
0

Shumëkëndëshat e rregullt (M. Bazë)

ngjashmeria16Në se një shumëkëndësh i mysët i ka brinjët dhe këndet kongruente atëherë ai quhet i rregullt.

Në qoftë se një rreth ndahet në pjesë të barabarta, atëherë shumëkëndëshi që formohet duke bashkuar pikat e ndarjes me korda është shumëkëndësh i rregullt. OSE nëse nga pikat e ndarjes hiqen tangjentet me rrethin formohet një shumëkëndësh i rregullt.

Ushtrim 1

Një katror dhe një trekëndësh barabrinjës kanë perimetra të barabartë. Gjeni raportin e sipërfaqëve të tyre.

Shënojmë me a gjatësinë e  brinjës së katrorit dhe me b të trekëndëshit. P4=4a  dhe P3=3b. Kemi 4a=3b\Rightarrow a=\frac{3}{4}b\frac{S_{4}}{S_{3}}=\frac{a^{2}}{\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{9}{16}b^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}}=\frac{9}{16}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.  S_{4}=a^{2}S_{3}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}  .

Ushtrim 2

Një katror dhe një trekëndësh barabrinjës kanë sipërfaqe të barabarta. Të gjendet raporti i perimetrave të tyre.

a^{2}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow a=\frac{b\sqrt[4]{3}}{2}   atëherë \frac{P_{4}}{P_{3}}=\frac{4a}{3b}=\frac{4\frac{b\sqrt[4]{3}}{2}}{3b}=\frac{2b\sqrt[4]{3}}{3b}=\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}

0

Zbatime të ngjashmërisë.Udhëzime 2.

ngjashmeria11Ushtrim 1

Në figurë jepen AD=5, BD=15 dhe AC=25cm. Gjeni AE.

Fillimisht vërtetojmë se: a) MB\cdot ME=MC\cdot MD   b) AB\cdot AD=AC\cdot AE

 a)\Delta MBD\sim \Delta MCE   (Rasti i parë) sepse  \angle CME=\angle BMD si kënde të kundërta dhe \angle DCE=\angle EBD si kënde rrethore të mbështetura mbi të njejtin hark.

Shkruajmë:  \frac{MB}{MC}=\frac{MD}{ME}\Rightarrow MB\cdot ME=MC\cdot MD

b)\Delta AEB\sim \Delta ADC (Rasti i parë) Këndi A i përbashkët dhe \angle ABE=\angle ACD si kënde rrethore që mbështeten mbi të njejtin hark DE. Shkruajmë:   \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}\Rightarrow AB\cdot AD=AC\cdot AE

Zëvendësojmë në rastin tonë AB\cdot AD=AC\cdot AE\Rightarrow 20\cdot 5=25\cdot AE\Rightarrow AE=4

ngjashmeria12Ushtrim 2

Për të matur lartësinë AB të një kulle një vrojtues CD vendos një pasçyrë në pikën M, nga e cila shikon majën e kullës A. çfarë duhet të masë vrojtuesi për të gjetur lartësinë e kullës.

Dy trekëndëshat kënddrejtë ABM dhe CDM janë të ngjashëm. Këndet AMB dhe CMD kongruentë (këndi i rënies me këndin e pasqyrimit). Zbatim MB=20m CD=1,6m (gjatësia e vrojtuesit) DM=1m.  Raportet: \frac{AB}{CD}=\frac{MB}{MD}  etj.

ngjashmeria13Ushtrim 3

Në paralelogramin ABCD gjeni FC=x.

Trekëndëshat AEB dhe FEC janë të ngjashëm (Pse). \frac{AB}{FC}=\frac{BE}{EF}\Rightarrow \frac{4+x}{x}=\frac{5}{3}  …etj

Ushtrim 4

ngjashmeria14Në trapezin ABCD (AD//BC) diagonalet priten në pikën O. Jepet AO=8cm; OC=10cm; BD=27cm. Gjeni OB dhe OD.

Tregoni pse trekëndëshat DOC dhe AOB janë të ngjashëm. Shënoni DO=x nga ku OB=27-x. Shkruani raportet e brinjëve përpjestimore.

Ushtrim 5

Njëra diagonale e trapezit është 33cm. Ajo e ndan diagonalen në dy pjesë me gjatësi 7 dhe 4cm. Të gjenden gjatësitë e diagonales së parë dhe baza e madhe nëse baza e vogël është 20cm.

Ushtrimi është  i njëjtë me ushtrimin 4 më sipër.

ngjashmeria15Ushtrim 6

Në trapezin ABCD (AB//CD) jepet baza e madhe AB=10cm. Zgjatimet e brinjëve anësore AD dhe BC priten në pikën M. Jepet AM=5cm dhe AD=4cm. Të gjendet vija e mesme e trapezit.

\Delta AMB\sim MDC\Rightarrow \frac{AM}{MD}=\frac{AB}{DC}\Rightarrow DC=2cm   nga ku x=\frac{AB+DC}{2}

0

Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave. Udhëzime1.

ngjashmeria6Ushtrim 1

Në trekëndëshin me bazë AB=48cm dhe lartësi CH=16cm është brendashkruar drejtëkëndëshiMNPQ në të cilin MN:MQ=9:5. Të gjenden MN dhe MQ.

Shënojmë MN=x dhe MQ=y. Trekëndëshat ABC dhe QPC janë të ngjashëm (pse). (Raporti i lartësive, mesoreve, përgjysmoreve të hequra nga kulmet e këndeve përgjegjëse është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë).

Shkruajme raportet: \frac{16}{16-y}=\frac{48}{x}  , nga ana tjetër kemi \frac{x}{y}=\frac{9}{5} …..etj.

Ushtrim 2ngjashmeria7

Në figurë CD është përgjysmore e këndit C dhe DE//AC. Të vërtetohet se DE=CE. Të gjendet DE nëse BC=8 dhe AC=6cm.

Shohim këndet ndërrues të brendshëm të drejtëzave paralele AC e DE të prera nga drejtëza CD.

Shënojmë DE=CE=x. Shqyrtojmë trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe DBC (tregoni pse janë të ngjashëm). Shkruajmë raportet: \frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow \frac{6}{x}=\frac{8}{8-x}\Rightarrow .....

ngjashmeria8Ushtrim 3

Në figurë ABCD është trapez. Këndet BAD dhe BDC janë të barabarta. Të gjenden BC dhe CD.

Trekëndëshi ABD i ngjashëm me DCB (këndet kongruente sipas radhitjes) A me D, B me C dhe D me B (ndërrues të brendshëm). Shkruajmë raportet: \frac{BD}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}….  etj.

Ushtrim 4

Në figurë jepen këndet ABC dhe ACD të barabarta. Të gjendet AD nëse AC=2cm dhe AB=4cm.ngjashmeria9

Shqyrtojmë trekëndëshat ABC dhe ACD. Të ngjashëm sepse këndin A e kanë të përbashkët plus nga një kënd të dhënë.

Shkruajmë raportet: \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}… etj.

ngjashmeria10Ushtrim 5

Në figurë AD është përgjysmore e këndit A. Të vërtetohet se trekëndëshat BED dhe EAB janë të ngjashëm.  Vërtetoni se EB^{2}=ED\cdot EA

Këndi EBC dhe këndi EAC janë kënde rrethore që mbështeten mbi të njejtin hark, prandaj janë kongruente. Duke patur parasysh kushtin del që këndet BAE dhe EBD janë kongruentë.

Trekëndëshat ABE dhe BDE janë  të ngjashëm sepse kanë edhe një kënd të përbashkët (AEB).

Raportet i shkruajmë duke patur parasysh brinjët homologe. …etj.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Ushtrime 2

ngjashmeria4Ushtrim 4

Në figurë BD është përgjysmore e këndit B. Jepet DE//BC;  DF//AB; AB=4,5cm dhe BC=9cm. Të vërtetohet se katërkëndëshi BFDE është romb. Të gjendet perimetri i tij.

Katërkëndëshi BFDE është paralelogram (nga të dhënat e ushtrimit). Nga ana tjetër BD pret dy paralelet BC dhe DE, prandaj këndet EBD dhe BDF janë kongruentë si kënde ndërrues të brendshëm. BE=ED. Paralelogrami që ka dy brinjë të njëpasnjëshme të barabarta është romb.

Trekëndëshat AED dhe ABC janë të ngjashëm(PSE). Shënojmë me x brinjën e rombit. Shkruajmë raportet: \frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}\Rightarrow \frac{4,5-x}{4,5}=\frac{x}{9}…etj.

Ushtrim 5

Dy trekëndësha dybrinjënjëshëm e kanë këndin në kulm të barabartë. Trekëndëshi i parë ka bazën 10cm dhe brinjën anësore 17cm. Trekëndëshi i dytë ka bazën 8cm. Të gjendet brinja anësore e trekëndëshit të dytë.

Dy trekëndëshat janë të ngjashëm (pse). Koeficienti i ngjashmërisë është  . k=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}  Brinja e trekëndëshit të dytë do të jetë 17\cdot k=17\cdot \frac{4}{5}

Ushtrim 6

Në figurë të vërtetohet se \frac{DA}{DC}=\frac{DM}{DB}ngjashmeria5 .

Trekëndëshat ADC dhe MDB janë të ngjashëm. Janë kënddrejtë dhe këndi ABE , ACD janë kongruentë si kënde me brinjë pingule. Shkruajmë raportet: \frac{DA}{DM}=\frac{DC}{DB}=\frac{AB}{BM} . Tek dy thyesat e para zbatojmë vetitë e numrave përpjestimorë.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Ushtrime 1

Ushtrim1

Brinjët e një trekëndëshi rrinë si 2:5:6. Perimetri i një trekëndëshi të ngjashëm me të është 78cm. Të gjenden brinjët e trekëndëshit të dytë.

Meqë dy trekëndëshat janë të ngjashëm edhe brinjët e trekëndëshit të dytë rrinë si 2:5:6 d.m.th gjatësitë e tyre do të jenë a=2k, b=5k dhe c=6k. Shfrytëzojmë faktin që njohim perimetrin 2k+5k+6k=78. Gjejmë k pastaj brinjët.

Ushtrim 2

Brinjët e një trekëndëshi qëndrojnë si 3:6:8. Të gjenden brinjët e një trekëndëshi të ngjashëm me të nëse trekëndëshi i dytë ka:

a)Brinjën më të vogël 15cm

b)Brinjën më të madhe 32cm

c)Diferencën e brinjës më të madhe me më të voglën 15cm

d)Shumën e dy brinjëve më të vogla 54cm

e)Perimetrin 340cm

Shënojmë brinjët e trekëndëshit të dytë a,b,c. Nga ngjashmëria e dy trekëndëshave shkruajmë: a:b:c=3:6:8 d.m.th: a=3k, b=6k, c=8k.

a)3k=15\Rightarrow k=5 nga ku gjemë brinjët    b=6k=30cm  dhe  c=8k=40cm

b)Njëlloj si tek kërkesa a) 8k=32… etj.

c)8k-3k=15   gjejmë k=3… etj.

d)3k+6k=54 etj

e)P=3k+6k+8k=340

Ushtrim 3ngjashmeria3

Për të matur lartësinë e një kulle, një vrojtues vendos një pengesë e cila mbulon kullën. Matet lartësia e pengesës 3,7m. Gjatësia e vrojtuesit është 1,7m dhe largesat e vrojtuesit përkatësisht nga pengesa dhe nga kulla 5m dhe 40m. Të gjendet lartësia e kullës.

Shqyrtojmë trekëndëshat e ngjashëm BFC dhe BDN. (pse janë të ngjashëm)

Shkruajmë raportet: \frac{CF}{DN}=\frac{BC}{BD}  Zëvendësoni gjatësitë dhe gjeni lartësinë e kullës. MN=MD+DN.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave

ngjashmeria2Përkufizimi: Dy trekëndësha quhen të ngjashëm nëse kanë këndet përkatësisht kongruente dhe brinjët homologe të përpjesshme.

Raporti i perimetrave të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë.

Raporti i sipërfaqeve të trekëndëshave të ngjashëm është i barabartë me katrorin e koeficientit të ngjashmërisë.

Rastet e Ngjashmërisë së trekëndëshave.  KUSHTE TË MJAFTUESHME

Rasti i parë: Nëse dy kënde të një trekëndëshi janë kongruentë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Rasti i dytë: Nëse dy brinjë të një trekëndëshi janë të përpjesshme me dy brinjë të një trekëndëshi tjetër, dhe këndet që formohen prej tyre janë kongruentë atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Rasti i tretë: Nëse tri brinjët e një trekëndëshi janë të përpjesshme me tri brinjët e një trekëndëshi tjetër atëherë trekëndëshat janë të ngjashëm.

Teorema e Talesitngjashmeria1

Dy drejtëza që presin një bashkësi drejtëzash paralele, caktojnë në to segmente të përpjesshëm. (si në figurë). \frac{A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}=\frac{A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}=\frac{A_{3}A_{4}}{B_{3}B_{4}}=......

0

Ushtrime. Kongruenca e trekëndëshave. Udhëzime.

kongruenca9

Ushtrim1

Në figurë jepet MA=MB dhe MC=MD. Të vërtetohet se AD=BC

Shqyrtojmë trekëndëshat MCB dhe MAC (Rasti I i kongruencës)

Ushtrim 2

Në figurë jepet AE=EB dhe BC//AD. Të vërtetohet se a) AD=BC; b)ACBD është paralelogram.kongruenca11

a)Shqyrtojmë trekëndëshat AED dhe BEC. Janë kongruentë sepse: AE=EB(nga kushti), \angle DAE=\angle EBC (si kënde ndërrues të brendshëm të drejtëzave paralele AD e BC të prera nga AB),  \angle AED=\angle CEB (kënde të kundërta në kulm)

Rasti i dytë i kongruencës KBK, dy trekëndëshat janë kongruentë. Nga kjo kemi që AD=BC

b)Nëse dy brinjët e kundërta të një katërkëndëshi janë paralele dhe të barabarta atëherë katërkëndëshi është paralelogram. Në katërkëndëshin tonë kemi AD//CB (kushti) AD=BC (sepse e vërtetuam) atëherë katërkëndëshi ACBD është paralelogram.

Ushtrim 3

kongruenca12Në figurë jepet AB=AC dhe BM=NC. Të vërtetohet se BE=CF. Tregoni natyrën e katërkëndëshit BCFE.

Shqyrtojmë trekëndëshat kënddrejtë BME dhe NCF. BM=NC dhe \angle ABC=\angle ACB. etj. Katerkëndëshi MNFE është drejtkëndësh. (paralelogram me një kënd të drejtë)

Ushtrim 4

Në figurë jepet AB=AC, CD\perp AB,BE\perp AC. Të vërtetohet se AE=ADkongruenca13

Trekëndëshat kënddrejtë AEB dhe ADC janë kongruentë. (një katet dhe një kënd të ngushtë). Prandaj AE=AD.

Ushtrim 5

kongruenca14Jepen MA=MB dhe \angle 1=\angle 2 .Të vërtetohet se:

a)\bigtriangleup MEA=\bigtriangleup MEB

b)\bigtriangleup MFA=\bigtriangleup MFB

c)\bigtriangleup AEF=\bigtriangleup BEF

a)Nga kushti kemi dy elemente plus ME e përbashkët.

b)Njëlloj dy elemente nga kushti plus MF e përbashkët.

c)Nga pika b) kemi që AF=FB dhe \angle AFE=\angle BFE, plus që FE e përbashkët…..etj

Ushtrim 6

Në figurë kemi AB=ACBE\perp AB; CE\perp AC. Të vërtetohet se trekëndëshi BCE është dybrinjënjëshëm.kongruenca15

Shqyrtojmë trekëndëshat ABE dhe AEC. AE e përbashkët AB=AC, janë këndrejtë. Nga kongruenca e tyre kemi që BE=EC, d.m.th treklëndëshi BEC është dybrinjënjëshëm.

0

Kongruenca e trekëndëshave kënddrejtë. Udhëzime.

Për trekëndëshat kënddrejtë rastet e kongruencës bëhen 4 dhe që dy trekëndësha kënddrejtë të jenë kongruentë mjafton të kenë përkatësisht nga dy elemente kongruente. (katetet, katet kënd, katet hipotenuzë dhe kënd hipotenuzë) Me përjashtim të rastit kënd i ngushtë-kënd i ngushtë.

Ushtrim1kongruenca5

Në figurë jepen ME=MF. Të vërtetohet se: OE=OF dhe pika M ndodhet në përgjysmoren e këndit EOF.

Shqyrtoni trekëndëshat kënddrejtë OME dhe OMF. Nga kongruenca e tyre rrjedhin dy kërkesat.

Ushtrim2kongruenca6

Në figurë AD është mesore e AC. Jepet BE\perp AD dhe CF\perp AD. Të vërtetohet se BE=CF.

Shqyrtoni trekëndëshat kënddrejtë  BDE dhe DFC të cilët kanë hipotenuzat dhe nga një kënd të ngushtë të barabartë….etj

Ushtrim3

Mbi përgjysmoren e një këndi O, ndërtohet një drejtëz pingule me të e cila pret brinjët e këndit në pikat M dhe N. Të vërtetohet se OM=ON.kongruenca7

Shqyrtojmë trekëndëshat kënddrejë OEM dhe OEN. Shpjegoni pse janë kongruentë.

Ushtrim4

Mbi brinjët e barabarta të trekëndëshit dybrinjënjëshëm ABC (AB=AC) janë marrë përkatësisht pikat M dhe N, të tilla që AM=AN. Të vërtetohet se:

a)kongruenca8\bigtriangleup BNC=\bigtriangleup BMC

b)\bigtriangleup ABN=\bigtriangleup ACM

Për rastin a) rasti i tretë i kongruencës (pse)

Për rastin b) rasti i dytë i kongruencës (pse), ose shfrytëzojmë vërtetimin tek a).

0

Ushtrime. Kongruenca e trekëndëshave

kongruenca1Ushtrim1

Jepet katërkëndëshi i mysët  ABCD në të cilin AB=AD dhe CB=CD. 

a)Vërtetoni se AC është përgjysmore e këndevë A dhe C. 

b)Vërtetoni se AC është përmesore e segmentit BD.

c)Pika M është pikë e çfardoshme e  AC. Vërtetoni se \angle AMB=\angle AMD.

a)Shqyrtoni trekëndëshat ABC dhe ADC.

b)Shqyrtoni trekëndëshin dybrinjënjëshëm ABD.

c)Nga kërkesa b) kemi BM=MD etj.

Ushtrimkongruenca22

Në një trekëndësh njëra nga mesoret është njëkohësisht edhe lartësi. Të vërtetohet që trekëndëshi është dybrinjënjëshëm.

Shqyrtoni trekëndëshat ABM dhe BCM  (kongruentë)

Ushtrim3

Dy trekëndësha kanë nga dy brinjë dhe mesoren e brinjës së tretë përkatësisht kongruente. Vërtetoni se dy trekëndëshat janë kongruentë.kongruenca4

Ndërtojmë KE=BK dhe K1E1=B1K1. Trekëndëshat KEC=ABK dhe K1E1C1=A1B1K1 (Pse). Trekëndëshat BEC dhe B1E1C1 janë kongruentë(Pse). Kjo sjell që \angle EBC=\angle E_{1}B_{1}C_{1}. Njëlloj provojmë se \angle ABE=\angle A_{1}B_{1}E_{1}. Duke i mbledhur anë për anë kemi që \angle ABC=\angle A_{1}B_{1}C_{1}. Atëherë trekëndëshat janë kongruentë (Rasti i parë).