MATEMATIKË Archive

0

Thënie për matematikën!

 

optical-illusion2

Matematika është një motivuese  e shkëlqyeshme  për të gjithë njerëzit.. sepse karriera e saj fillon me zero,  por nuk mbaron asnjëherë.

 

Nëse njerëzit nuk besojnë se matematika është e thjeshtë , kjo ndodh sepse  ata nuk e kuptojnë se sa e komplikuar është jeta!

Mendjet e vogla diskutojnë personat. Mendjet mesatare shqyrtojnë ngjarje! Mendjet  e medha shqyrtojnë idetë! Mendjet shumë të mëdha shqyrtojnë matematikën!

Mësuesit e vjetër të matematikës nuk vdesin asnjëherë .. ata thjeshtë  shkojnë drejt infinitit!

 Matematika-Mbreti I Arteve  dhe Mbretëresa e Shkencave!

 Matematika është arti që u jep të njëjtin emër gjërave të ndryshmë!

 Të gjithë e dinë që një gjë është  e parealizueshme ,  derisa arrin një që nuk e di dhe e realizon.

 Matematika është gjuha që Zoti përdori për te shkruajtur universin.

 Matematika është shkruajtur për matematicienët.

  Matematika është mbretëresha e shkencave dhe aritmetika është mbretëresha e matematikës

 Matematika nuk përmban vetëm të vërtetën por edhe bukurinë supreme, bukuri e ftohtë dhe e rreptë si ajo e shkrimit. 

 Velzat e frymarrjes së Aritmetikës janë : Ambicioni, Hutimi, Keqtrajtimi dhe Tallja.

 Numri është ligji i Universit.

  E shkuara është një e dhënë matematikore, e tashmja është variabël dhe e ardhmja është e panjohur që varet nga vetja.

 Natyra flet me gjuhen e matematikes ; germat e kesaj gjuhe jane rrathët trekendeshat dhe figurat e tjera matematikore..

 Burimi: http://www.m4maths.com ; http://www.brainyquote.com

 

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.4

Ushtrim 1

Dihet që P(x+2)=2x^{3}-4x^{2}+2x+3. Gjeni mbetjen e pjesëtimit të P(x) me x-3.

Mbetja e pjesëtimit me x-3 është e barabartë me vlerën e polinomit në x=3. P(3)=P(1+2)=2\cdot 1^{3}-4\cdot 1^{2}+2\cdot 1+3=3

Ushtrim 2

Gjeni koeficientët a, b  dhe c të polinomit P(x)=ax^{2}+bx+c  duke ditur që P(x+1)+P(x-1)=8x^{2}-6x+10

Gjejmë P(x+1)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c  dhe P(x-1)=a(x-1)^{2}+b(x-1)+c . I zëvendësojmë tek barazimi dhe barazojmë koeficientat para fuqive respektive të x-it.

Ushtrim 3

Polinomi P(x)=x^{3}-ax^{2}+bx+6 plotpjesëtohet me x-1 dhe me x-3. Gjeni koeficientat a dhe b.

Meqenëse plotpjesëtohet me x-1 dhe me x+3 kjo do të thotë se P(1)=0 dhe P(-3)=0. Zëvendësojmë dhe zgjidhim sistemin me dy ekuacione me dy të panjohura.

Ushtrim 4

polinom

Dy rrënjë të polinomit x^{4}+x^{3}-7x^{2}-x+6  janë 2 dhe -3. Gjeni dy rrënjët tjera të tij.

Pjestojmë me x-2 dhe gjejmë polinomin P(x). Pastaj pjestojmë polinomin P(x) me x+3 dhe gjejmë polinomin e fuqisë së dytë Q(x). Zgjidhim ekuacionin Q(x)=0.

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.3

Zemanta Related Posts ThumbnailUshtrim 1

Për gjithë vlerat e lejuara të x ka vend barazimi: \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3} . Gjeni a dhe b.

\frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3}\Leftrightarrow \frac{x-7}{(x+1)(x-3)}=\frac{a(x-3)+b(x+1)}{(x+1)(x-3)}\Leftrightarrow x-7=a(x-3)+b(x+1)\Leftrightarrow x-7=(a+b)x-3a+b\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=1\\ -3a+b=-7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-1 \end{matrix}\right.

Ushtrim 2

Polinomi P(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+mx-3 plotpjesëtohet me x-2. Gjeni m.

Meqenëse polinomi plopjesëtohet me x-2, kjo do të thotë se vlera e tij për x=2 është zero. P(2)=0… etj.

Ushtrim 3

Gjatë pjesëtimit të polinomit P(x)=x^{4}+2x^{3}+x-2  me x^{2}+1 kemi identitetin : P(x)=(x^{2}+1)\cdot Q(x)+R(x)  ku Q(x) është i fuqisë së dytë dhe R(x) i fuqisë së parë. Gjeni Q(x) dhe R(x).

Polinomi Q(x) ka trajtën x^{2}+ax+b kurse R(x) ka trajtën cx+d. Zëvendësojmë dhe përdorim përkufizimin për polinomet e barabarta.

x^{4}+2x^{3}+x-2=(x^{2}+1)(x^{2}+ax+b)+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+x^{2}+ax+b+cx+d\Leftrightarrow x^{4}+ax^{3}+(b+1)x^{2}+(a+c)x+(b+d)…etj

Ushtrim 4

Polonomi P(x) gjatë pjesëtimit me (x-1) jep mbetjen 2, kurse gjatë pjesëtimit me (x-2) jep mbetjen 5. Mbetja e këtij polinomi gjatë pjesëtimit me (x-1)(x-2) ka trajtën ax+b. Gjeni a dhe b.

Nga kushtet e ushtrimit kemi që P(1)=2 dhe P(2)=5 (Vlera e polinomit në pikën c është e barabartë me mbetjen gjatë pjestimit me x-c). Nga ana tjetër P(1)=a+b dhe P(2)=2a+b. …etj.

0

Bashkësia e përcaktimit të funksionit. (Mat bazë). Ushtrime2

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksioneve: 1) y=\frac{1}{\left | x \right |-5} , 2)y=\frac{1}{\left | x-5 \right |} , 3)y=\sqrt{\left | x \right |-2} , 4)y=\sqrt{4-\left | x \right |} . 

1) \left | x \right |-5\neq 0\Rightarrow \left | x \right |\neq 5\Rightarrow x\neq \pm 5   d.m.th E=]-\infty ;-5[\cup ]-5;5[\cup ]5;+\infty [

2)\left | x-5 \right |\neq 0\Rightarrow x-5\neq 0\Rightarrow x\neq 5\Rightarrow E=]-\infty; 5[\cup ]5;+\infty [

3)\left | x \right |-2\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\geq 2\Rightarrow E=]-\infty ;-2]\cup [2;+\infty [   .Kuptimi i vlerës absolute, e cila tregon largesën nga origjina, kështu mosbarazimi  \left | x \right |\geq 2  mund të përkthehet “cilat pika në boshtin numerik kanë largesën nga origjina më të madhe ose të barabartë me 2”.

4)4-\left | x \right |\geq 0\Rightarrow \left | x \right |\leq 4\Rightarrow -4\leq x\leq 4\Rightarrow E=[-4;4] . Pikat që kanë largesën nga origjina më të vogël se 4.

0

Bashkësia e përcaktimit të funksionit. (Mat bazë). Ushtrime1

Gjeni bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

1)y=\sqrt{1-\frac{1}{x}} ;  2) y=\frac{1}{(x-2)\sqrt{x-5}} ; 3) y=\sqrt{2x-8}+\sqrt{6-x} ; 4)y=\sqrt{\left (2x-8 \right )\left ( 6-x \right )} ;  5)y=\sqrt{2x-8}\cdot \sqrt{6-x} ;  6) y=\sqrt{\frac{}{2x-8}{6-x}} .

1)1-\frac{1}{x}\geq 0\Rightarrow \frac{x-1}{x}\geq 0  (inekuacionet në trajtë prodhimi ose raporti, të cilat zgjidhen me anë të tabelave si më poshtë) . Hapi i parë gjejmë rrënjët e faktorëve. Në rastin tonë janë numrat 1 për numëruesin dhe 0 për emëruesin. Hapi i dytë ndërtojmë tabelën. Hapi i tretë nga tabela i japim përgjigje. E=]-\infty ;0[\cup [1;+\infty [funksioni2

 

2)Vendosim kushtet: x-2\neq 0  dhe x-5>0.  atëherë kemi E=\left \{ x\epsilon R/x>5\wedge x\neq 2 \right \}=\left \{ x\epsilon R/x>5 \right \}=]5;+\infty [
3) dhe 5) kanë të njejtat kushte pra të njejtën bashkësi përcaktimi. 2x-8\geq 0  dhe 6-x\geq 0 që ndryshe shkruhet: \left\{\begin{matrix} 2x-8\geq 0\\ 6-x\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2x\geq 8\\ -x\geq -6 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 4\\ x\leq 6 \end{matrix}\right.   Prandaj bashkësia e përcaktimit  E=[4;6]. Verefikojeni me anë të boshtit numerik.
4) dhe 6) ndryshojnë vetëm për x=6. 
funksioni3Shkruajmë kushtet për të dyja dhe ndërtojmë tabelat përkatëse. (2x-8)(6-x)\geq 0 dhe për  ushtrimin6) \frac{2x-8}{6-x}\geq 0 . Për U4  E=[4;6] ,funksioni4
 
 për  U6  E=[4;6[
0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.2

logjikaUshtrim 1

Turisti llogariti se nëse ai do të ecë me shpejtësi 4km/orë, atëherë ai do të vonohet për të arritur tek hoteli me 0,5 orë. Kurse nëse ai do të ecë me shpejtësi 5km/orë do të mbërrijë në hotel 6 minuta para kohës së caktuar. Në çfarë largësie është turisti nga hoteli.

Shënojmë me x në km largësinë e turistit nga hoteli dhe me t në orë kohën e caktuar për të vajtur.

Me shpejtësinë 4km/orë do të kemi rrugën  x=4(t+\frac{1}{2})  sepse i duhet gjysëm ore më shumë.

Me shpejtësinë 5km/orë do të kemi rrugën x=5(t-\frac{1}{10})  sepse janë 6min=\frac{1}{10}  e orës më shumë. Zgjidhim sistemin me dy ekuacionet dhe gjejmë x-in.

Ushtrim 2

Vërtetoni identitetet: 

a)(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}

(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}=   shtojmë dhe zbresim 4abcd dhe rregullojmë katrorët e binomeve.  a^{2}c^{2}+4abcd+b^{2}d^{2}+a^{2}d^{2}-4abcd+b^{2}c^{2}=... etj.

b)x^{n}+y^{n}=(x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}-y^{n-4}y^{3}+...+x^{2}y^{n-3}-xy^{n-2}+y^{n-1})

Kryejmë shumzimet në anën e djathtë dhe shohim se reduktohen të gjitha kufizat përveç të parës dhe të fundit.

Ushtrim 3

Vërtetoni se shprehja x^{2}+2x+2  mund të marrë vetëm vlera pozitive. 

x^{2}+2x+2=x^{2}+2x+1+1=(x+1)^{2}+1>0  sepse (x+1)^{2}\geq 0\Rightarrow (x+1)^{2}+1\geq 0+1> 0

0

Grafiku i funksionit numerik.Mënyra praktike e ndërtimit të grafikëve të disa funksioneve.


Bashkësia e gjithë pikave (x;f(x)) në planin kordinativ xOy quhet grafik i funksionit y=f(x), ku x\epsilon X.

Nëse na jepet grafiku i një funksioni atëherë:

Me anë të tij mund të gjejmë bashkësinë e përcaktimit dhe bashkësinë e vlerave duke e projektuar grafikun përkatësisht mbi boshtin Ox dhe Oy.

Për çdo fytyrë a mund të gjejmë shëmbëllimin e saj f(a), që është ordinata e pikës me abshisë a në grafik.

Mënyra praktike e ndërtimit të grafikëve të disa funksioneve.

funksioni linear2

funksioni linear11)Funksioni linear y=ax+b grafikisht paraqitet me anë të një drejtëze. Duke ditur që nëpër dy pika kalon një dhe vetëm një drejtëz, atëherë për ndërtimin e saj na mjaftojnë vetëm dy pika. Zakonisht merren pikat e prerjes me boshtet kordinative.

2)Funksioni përpjestimor i zhdrejtë y=\frac{a}{x} . Grafiku ka dy pjesë simetrikë në lidhje me O. Ato janë në kuadrant të parë dhe tretë kur a>0, ose në të dytin dhe katërtin kur a<0. Duhet të fiksohet forma e grafikut dhe mjafton të merren disa pika ndihmëse në njërën pjesë.

funks perpjest zhdrejte1funks perpjest zhdrejte2

3)Funksioni trinom i fuqisë së dytë y=ax2+bx+c. Grafiku është një parabolë me degë lart kur a>0, me degë poshtë kur a<0.

Ndërtimi i parabolës.

Në fillim gjejmë kulmin C të parabolës i cili ka kordinatat \left ( \frac{-b}{2a};\frac{-D}{4a} \right ). Pastaj marrim disa pika ndihmëse majtas dhe djathtas kulmit, në mënyrë simetrike (4ose 6 pika).parabola

0

Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.1

Ushtrim 1

Vërtetoni që për çdo numër natyror:

a)Vlera e shprehjes (n+4)(n-1)-(n+8)(n-5) nuk varet nga n.

b)Vlera e shprehjes (n+3)(n+2)-n(n-1) është shumëfish i 6.

c)Vlera e shprehjes (n-6)(n+8)-2(n-25) është pozitive.

a)Pas shndërrimeve të njëvlershme të shprehjes duhet që përfundimi të jetë numër.

b)Pas shndërrimeve të njëvlershme përfundimi duhet të dalë 6 herë një shprehje tjetër. Pra duhet të tentohet të faktorizohet numri 6.

c)(n-6)(n+8)-2(n-25)=n^{2}+8n-6n-48-2n+50=n^{2}+2> 0  sepse n^{2}\geq 0\Rightarrow n^{2}+2\geq 0+2> 0

Ushtrim 2

Gjeni polinomin M që të ketë vend identiteti: M+(5x^{2}-2xy)=6x^{2}+9xy-y^{2} . Kujtojmë kur dy polinome janë të barabarta. Polinomi M do të ketë trajtën:  ax^{2}+bxy+cy^{2}.  Atëherë shkruajmë  ax^{2}+bxy+cy^{2}+5x^{2}-2xy=6x^{2}+9xy-y^{2}\Leftrightarrow (a+5)x^{2}+(b-2)xy+cy^{2}=6x^{2}+9xy-y^{2} …..etj.

Ushtrim 3

A mund ta gjeni vlerën e shprehjes: (7a^{3}-6a^{2}b+5ab^{2})+(5a^{3}+7a^{2}b+3ab^{2})-(10a^{3}+a^{2}b+8ab^{2}) duke ditur vetëm vlerën e ndryshores a=-0,25.

Shndërrojmë shprehjen dhe shohim që ajo varet vetëm nga a-ja, prandaj përgjigja është pozitive.

Ushtrim 4

Aka vlera të x-it për të cilat vlera e polinomit a) 2x2+6x+3 është numër çift, b) x2+x+2 është numër tek.

Kujtojmë shuma e dy numrave tek ose çift është çift, dhe shuma e një numri tek me një numër çift është numër tek. (mund ta vërtetoni). 2x^{2}+6x+3=2(x^{2}+3x)+3 . Për çdo numër x që të marrim 2(x^{2}+3x) është çift, numri  3 tek kjo sjell që vlera e polinomit tonë është gjithmonë tek…..etj. Njëlloj mund të arsyetojmë për b)

Ushtrim 5

Vërtetoni që nëse ab+c2=0, atëherë (a+c)(b+c)+(a-c)(b-c)=0. 

Nxjerrim c2=ab dhe e zëvendësojmë tek ana e majtë e barazimit pasi të kemi kryer shndërrimin e saj.

0

Relacioni. Funksioni. (Mat Bazë) Pjesa teorike

funksioni1Le të jenë  X dhe Y dy bashkësi të çfardoshme. Çdo lidhje ndrërmjet elementeve të bashkësisë X me elementet e bashkësisë Y përbën një Relacion ndërmjet tyre.

Kujtojmë prodhimin kartezian të dy bashkësive: XxY=\left \{ (x;y)/x\epsilon X\wedge y\epsilon Y \right \} . Çdo nënbashkësi e prodhimit kartezian përbën një relacion ndërmjet tyre. Zakonisht relacioni tregohet me anë të një fjalie që tregon mënyrën e lidhjes së elementeve. Nënbashkësia G e çifteve të radhitura sipas mënyrës së lidhjes quhet graf i relacionit.

Shembull:

Jepen bashkësitë:X={1,2,3,4,5,6} dhe Y={0,1,3,5}. Relacioni R:”x+y është numër tek” . Sipas këtij relacioni numri 2 p.sh lidhet me numrin 1 me 3 dhe me 5.

X është bashkësia e fillimit të relacionit

Y është bashkësia e mbarimit të relacionit

G={(1;0),(2;1),(2;3),(2;5),(3;0),(4;1),(4;3),(4;5),(5;0),(6;1),(6;3),(6;5)} është grafi i relacionit

Në relacion çdo element i bashkësisë së fillimit çiftohet me një, disa ose asnjë element të bashkësisë së mbarimit.

Funksioni

Relacioni me fillim në X dhe mbarim në Y në të cilin çdo element i X-it lidhet me një element të Y-it quhet funksion.

Nëse x1 nga X  është lidhur me y1nga Y, atëherë x1 quhet fytyrë kurse y1quhet shëmbëllim ose vlerë e funksionit. Bashkësia e gjithë fytyrave quhet bashkësi e përcaktimit të funksionit, kurse bashkësia e shëmbëllimeve quhet bashkësi e vlerave të funksionit. Të dyja janë nënbashkësi përkatësisgt të X-it dhe Y-it.

Kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë funksioni quhet numerik.

0

Planimetria. Ushtrime, shembuj.

ngjashmeria30Ushtrim 1

Tregoni pse janë të ngjashëm trekëndëshat në figurë. Gjeni x-in.

Trekëndëshat janë të ngjashëm sepse kanë nga një kënd të barabartë dhe brinjët e këtij këndi përkatësisht përpjestimore.

\angle ABD=\angle BDC dhe   \frac{DC}{BD}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2} . Atëherë \frac{BC}{AD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2 .

Ushtrim 2

Gjeni këndin e 10-këndëshit të rregullt. Gjeni këndin qëndror të tij.

\alpha _{10}=\frac{180^{0}(10-2)}{10}=\frac{180^{0}\cdot 8}{10}=144^{0}.  \beta _{10}=\frac{360^{0}}{10}=36^{0}

Ushtrim 3

Brinja e katrorit të brendashkruar në rreth është 2cm. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit të rregullt  të brendashkruar në këtë rreth.

a_{4}=2\Rightarrow R\sqrt{2}=2\Rightarrow R=\sqrt{2}   (Gjejmë rrezen e rrethit jashtëshkruar katrorit) a_{3}=R\sqrt{3}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6} . Shkruajmë formulën për sipërfaqen e trekëndëshit S_{3}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} . S_{3}=\frac{6\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} .

Ushtrim 4

Njëra diagonale e trapezit është 15cm. Ajo e ndan diagonalen tjetër në dy pjesë me gjatësi 2cm dhe 5cm.Të gjenden segmentet e diagonales së parë.

Pjesët e diagonales do të jenë x dhe 15-x. Tregojmë pse dy trekëndëshat janë të ngjashëm dhe shkruajmë raportet. \frac{2}{5}=\frac{x}{15-x}\Rightarrow 5x=30-2x\Rightarrow 7x=30\Rightarrow x=\frac{30}{7} .

0

Rregullat e vërtetimit (Mat e avancuar)

logjikaSilogjizmi

Nëse janë të vërteta pohimet p dhe p\Rightarrow q , atëherë është i vërtetë edhe q.

Shembull: p\Rightarrow q:”Nëse shuma e shifrave të një numri plotpjesëtohet me 3, atëherë edhe numri plotpjesëtohet me 3″.  Shuma e shifrave të numrit 6432 pjesëtohet me 3. Përfundimi numri 6432 pjesëtohet me 3.

Modus tollens

I vërtetë p\Rightarrow q, por q  i gabuar, atëherë edhe p është i gabuar.

Shembull: p\Rightarrow q: “Nëse një numër plotpjesëtohet me 10, atëherë ai mbaron me zero”. Numri 6432 nuk mbaron me zero. Përfundimi numri 6432 nuk plotpjesëtohet me 10.

Kalimi i implikimit logjik

Nëse janë të vërteta p\Rightarrow q  dhe  q\Rightarrow r, atëherë është i vërtetë edhe  p\Rightarrow r.

Shembull: “Nëse zgjohem vonë atëherë mbyllet dera e shkollës”. Nëse mbyllet dera e shkollës atëherë mungoj në mësim”. I vërtetë edhe përfundimi: “Nëse zgjohem vonë, atëherë mungoj në mësim”

Arsyetimi me absurditet

Për të treguar vërtetësinë e pohimit q, supozojmë se është i vërtetë mohimi i tij. Nëse nga mohimi i q rrjedh një absurditet atëherë është i vërtetë pohimi q, sepse supozimi është i gabuar.

Shembull:”Nëse prodhimi i dy numrave natyrorë është tek, atëherë të dy numrat janë tek”. Supozojmë se të dy numrat janë çift, a=2k dhe b=2p (ku k dhe p janë numra natyrorë). Bëjmë prodhimin a\cdot b=2k\cdot 2p=2(2kp)  i cili del çift!! (absurditet) në kundërshtim me kushtin. Supozimi i gabuar, kështu që ngelet që të dy numrat janë tek.

0

Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime. Simetria e shumëkëndëshave të rregullt.

ngjashmeria25Ushtrim 1

Në figurë ABCD është katror dhe MNP është trekëndësh barabrinjës. sipërfaqja e pjesës së ngjyrosur është 3 hërë më e madhe se sipërfaqja e trekëndëshit MNP. Të gjendet brinja e katrorit nëse MN=2cm.

Gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit. Sipërfaqja e katrorit do të jetë 4 herë më e madhe se sipërfaqja e trekëndëshit. d.m.th. AB^{2}=4\frac{MN^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} …etj.

Ushtrim 2

ngjashmeria26Në figurë jepet AH=2cm, EF//BC dhe SAEF =SBFEC . Të gjendet AP.

\Delta ABC\sim \Delta AEF

S_{AEF}=S_{EBCF}\Rightarrow S_{ABC}=2S_{AEF}\Rightarrow k^{2}=2\Rightarrow k=\sqrt{2}

\frac{AH}{AP}=\sqrt{2}….

Ushtrim 3

ngjashmeria27Në figurë jepet S_{ABC}=2S_{DEC} , AC=8cm Të gjendet EC.

\Delta ABC\sim \Delta EDC.  Njëlloj me ushtrimin e mësiperm gjejmë koeficientine ngjashmërisë dhe shkruajmë raportet e brinjëve.   \frac{AB}{ED}=\frac{AC}{EC}=\frac{BC}{DC}  ….etj.

Ushtrim 4

Të vërtetohet se diagonalet e një shumëkëndëshi të rregullt që dalin nga i njejti kulm e ndajnë këndin në pjesë të barabarta.

Shumëkëndëshit të rregullt i jashtëshkruhet rrethi. Këndet që formohen janë kënde rrethore që mbështeten mbi harqe të barabarta. Tregoje me figurë.

Ushtrim 5

ngjashmeria28Në figurë rrathët e vizatuar janë të barabartë. Të gjendet raporti i sipërfaqeve të ngjyrosura.

Shënojmë S1 të parën dhe S2 sipërfaqen e dytë. S_{1}=(2R)^{2}-\pi R^{2}=(4-\pi )R^{2} .

Brinja e katrorit tek figura e dytë është R\sqrt{2}S_{2}=\pi R^{2}-(R\sqrt{2})^{2}=\pi R^{2}-2R^{2}=(\pi -2)R^{2} …..etj.

0

Simetria e Shumëkëndëshave të rregullt. Ushtrime, Udhëzime.

ngjashmeria22Ushtrim 1

Në një rreth me rreze 4cm është brendashkruar një trekëndësh barabrinjës dhe mbi njërën brinjë të tij është ndërtuar një katror. Të gjendet rrezja e rrethit jashtëshkruar katrorit.

Rrezja e rrethit jashtëshkruar katrorit është 1/2 e diagonales së tij. Gjejmë brinjën e trekëndëshit AB=r\sqrt{3}=4\sqrt{3}\Rightarrow AE=AB\sqrt{2}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}…etj.

Ushtrim 2

Në një rreth me rreze 6cm brendashkruhet trekëndëshi barabrinjës. Të gjendet pjesa e sipërfaqes së qarkut që ndodhet jashtë trekëndëshit.ngjashmeria23

Gjejmë sipërfaqen S1 të rrethit, sipërfaqen S2 të trekëndëshit. Pjesa e vijëzuar është S1-S2.

Sipërfaqja e rrethit S=\pi r^{2}  Sipërfaqja e trekëndëshit barabrinjës   S=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} .

Ushtrim 3

Në rrethin me rreze R ndërtohen kordat AB=R\sqrt{2};BC=R;CD=R\sqrt{3}. Të gjendet AD dhe këndet e katërkëndëshit ABCD.

AB është brinja e katrorit brendashkruar, BC e gjashtëkëndëshit dhe CD e trekëndëshit brendashkruar rrethit. ngjashmeria24BC^{2}+CD^{2}=R^{2}+3R^{2}=4R^{2}=BD^{2}.   BD=2R (diametri i rrethit)  AD^{2}=BD^{2}-AB^{2}=4R^{2}-2R^{2}=2R^{2}\Rightarrow AD=AB=R\sqrt{2}.   \angle BAD=\angle BCD=90^{0} sepse mbështeten mbi diametër. Trekëndëshi ABD dybrinjënjëshëm \angle ABD=\angle ADB=45^{0}.BC=\frac{1}{2}BD=R\Rightarrow \angle BDC=30^{0}; \angle DBC=60^{0}…etj.

0

Ndërtimi i shumëkëndëshave të rregullt. Udhëzime për ushtrimet.

Ushtrim 1

Të vërtetohet se diagonalet e peskëndëshit të rregullt janë të barabarta.ngjashmeria20

Shqyrtojmë 5 trekëndëshat dybrinjënjëshëm që formohen. Rasti i parë i kongruencës…etj.

Ushtrim 2

Rrethit me rreze r=5cm i jashtëshkruhet trekëndëshi i rregullt. Të gjendet brinjë e tij.

Në trekëndëshin OEB OB=2r (pse). Zbatojmë teoremën e Pitagorës  EB^{2}=OB^{2}-OE^{2}\Rightarrow EB^{2}=(2r)^{2}-r^{2}=3r^{2}\Rightarrow EB=r\sqrt{3}

Nga ku BC=2r\sqrt{3}=10\sqrt{3}

Ushtrim 3

ngjashmeria21Brinja e trekëndëshit të rregullt të brendashkruar në rreth është 6cm. Të gjendet brinja e katrorit të brendashkruar rrethit.

Fillimisht gjejmë OC=r (rrezja e rrethit brendashkruar). Në trekëndëshin këddrejtë OMC r^{2}-\left ( \frac{1}{2}\cdot r \right )^{2}=9\Rightarrow r=2\sqrt{3}\Rightarrow DC=4\sqrt{3}. DC është diagonalja e katrorit. a\sqrt{2}=4\sqrt{3}\Rightarrow a=2\sqrt{6}  ku a është brinja e katrorit.

Ushtrim 4

Brinja e katrorit të brendashkruar në një rreth është 10cm. Të gjendet brinja e trekëndëshit të rregullt të brendashkruar në këtë rreth.

Në të njëjtën figurë më sipër, Diagonalja e katrorit është 10\sqrt{2}\Rightarrow OC=5\sqrt{2}\Rightarrow OM=\frac{5\sqrt{2}}{2} . Gjejmë CM me teoremë të Pitagorës.  BC=2CM.

0

Ndërtimi dhe simetria e shumëkëndëshave të rregullt

Nngjashmeria17DËRTIMI

Këtu do të keni mënyrat se si ndërtohen disa prej shumëkëndëshave të rregullt.

1)Katrori

Ndërtohen dy diametra pingul në një rreth.

2)gjashtëkëndëshi i rregullt.

Këndi qendror është 600. Brinjët e gjashtëkëndëshit të rregullt janë sa rrezja e rrethit jashtëshkruar. Prandaj pasi vizatojmë një rreth, e ndajmë atë me anë ta kompasit në 6 pjesë. Bashkojmë me anë të kordave, dhe shumëkëndëshi i formuar është gjashtëkandësh i rregullt.

3)Trekëndëshi i rregullt.

Pasi kemi ndarë rrethin në gjashtë pjesë të barabarta bashkojmë pikat e ndarjes duke kapërcyer njërën. Të parën me të tretën, të tretën me të pestën dhe të pestën me të parën.

Provoni veten duke bërë vërtetimet për sejcilin rast. Pra tregoni se janë katërkëndësg, gjashtëkëndësh dhe trekëndësh i rregullt.

SIMETRIAngjashmeria18

1)Trekëndëshi barabrinjës.

Ka tre boshte simetrie, nuk ka qendër simetrie.

2)Katrori ka 4 bngjashmeria19oshte simetrie dhe 1 qendër simetrie.

3)Në përgjithësi n-këndëshi i rregullt ka n boshte simetrie. Kur numri n është tek shumëkëndëshi nuk ka qendër simetrie, ndërsa kur n është çift ai ka një qendër simetrie.

Në shkrimin tjetër lexoni për simetrinë qëndrore dhe simetrinë boshtore.

0

Vetitë e shumëkëndëshave të rregullt.

ngjashmeria16Çdo shumëkëndëshi të rregullt i jashtëshkruhet dhe brendashkruhet rrethi. Të dy rrathët kanë të njejtën qendër, e cila quhet qendër e shumëkëndëshit.

Këndi i  një n-këndëshi të rregullt jepet me formulën: \alpha _{n}=\frac{180^{0}(n-2)}{n} .Këndi qëndror që mbështetet mbi një brinjë të shumkëndëshit jepet me formulën: \beta _{n}=\frac{360^{0}}{n} .

Ushtrim 1

Këndi qëndror i një shumëkëndëshi të rregullt është 4 herë më i vogël se këndi i shumëkëndëshit. Sa brinjë ka ky shumëkëndësh.

\alpha _{n}=4\cdot \beta _{n}\Rightarrow \frac{180^{0}(n-2)}{n}=4\cdot \frac{360^{0}}{n}\Rightarrow 180^{0}(n-2)=4\cdot 360^{0}\Rightarrow n-2=8\Rightarrow n=10

Kemi të bëjmë me 10-këndësh.

Plotësoni testin e mëposhtëm (prova)

1. Këndi i 8-këndëshit të rregullt është:
2. Këndi qëndror i katërkëndëshit të rregullt është:
3. Këndi qëndror i një shumëkëndëshi të rregullt është 200. Gjeni numrin e brinjëve.
4. Njëri prej shumëkëndëshave të mëposhtëm nuk është i rregullt
5. Numri i diagonaleve të 6-këndëshit të rregullt është:
0

Shumëkëndëshat e rregullt (M. Bazë)

ngjashmeria16Në se një shumëkëndësh i mysët i ka brinjët dhe këndet kongruente atëherë ai quhet i rregullt.

Në qoftë se një rreth ndahet në pjesë të barabarta, atëherë shumëkëndëshi që formohet duke bashkuar pikat e ndarjes me korda është shumëkëndësh i rregullt. OSE nëse nga pikat e ndarjes hiqen tangjentet me rrethin formohet një shumëkëndësh i rregullt.

Ushtrim 1

Një katror dhe një trekëndësh barabrinjës kanë perimetra të barabartë. Gjeni raportin e sipërfaqëve të tyre.

Shënojmë me a gjatësinë e  brinjës së katrorit dhe me b të trekëndëshit. P4=4a  dhe P3=3b. Kemi 4a=3b\Rightarrow a=\frac{3}{4}b\frac{S_{4}}{S_{3}}=\frac{a^{2}}{\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}}=\frac{\frac{9}{16}b^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}}=\frac{9}{16}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{12}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.  S_{4}=a^{2}S_{3}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}  .

Ushtrim 2

Një katror dhe një trekëndësh barabrinjës kanë sipërfaqe të barabarta. Të gjendet raporti i perimetrave të tyre.

a^{2}=\frac{b^{2}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow a=\frac{b\sqrt[4]{3}}{2}   atëherë \frac{P_{4}}{P_{3}}=\frac{4a}{3b}=\frac{4\frac{b\sqrt[4]{3}}{2}}{3b}=\frac{2b\sqrt[4]{3}}{3b}=\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}

0

Zbatime të ngjashmërisë.Udhëzime 2.

ngjashmeria11Ushtrim 1

Në figurë jepen AD=5, BD=15 dhe AC=25cm. Gjeni AE.

Fillimisht vërtetojmë se: a) MB\cdot ME=MC\cdot MD   b) AB\cdot AD=AC\cdot AE

 a)\Delta MBD\sim \Delta MCE   (Rasti i parë) sepse  \angle CME=\angle BMD si kënde të kundërta dhe \angle DCE=\angle EBD si kënde rrethore të mbështetura mbi të njejtin hark.

Shkruajmë:  \frac{MB}{MC}=\frac{MD}{ME}\Rightarrow MB\cdot ME=MC\cdot MD

b)\Delta AEB\sim \Delta ADC (Rasti i parë) Këndi A i përbashkët dhe \angle ABE=\angle ACD si kënde rrethore që mbështeten mbi të njejtin hark DE. Shkruajmë:   \frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AD}\Rightarrow AB\cdot AD=AC\cdot AE

Zëvendësojmë në rastin tonë AB\cdot AD=AC\cdot AE\Rightarrow 20\cdot 5=25\cdot AE\Rightarrow AE=4

ngjashmeria12Ushtrim 2

Për të matur lartësinë AB të një kulle një vrojtues CD vendos një pasçyrë në pikën M, nga e cila shikon majën e kullës A. çfarë duhet të masë vrojtuesi për të gjetur lartësinë e kullës.

Dy trekëndëshat kënddrejtë ABM dhe CDM janë të ngjashëm. Këndet AMB dhe CMD kongruentë (këndi i rënies me këndin e pasqyrimit). Zbatim MB=20m CD=1,6m (gjatësia e vrojtuesit) DM=1m.  Raportet: \frac{AB}{CD}=\frac{MB}{MD}  etj.

ngjashmeria13Ushtrim 3

Në paralelogramin ABCD gjeni FC=x.

Trekëndëshat AEB dhe FEC janë të ngjashëm (Pse). \frac{AB}{FC}=\frac{BE}{EF}\Rightarrow \frac{4+x}{x}=\frac{5}{3}  …etj

Ushtrim 4

ngjashmeria14Në trapezin ABCD (AD//BC) diagonalet priten në pikën O. Jepet AO=8cm; OC=10cm; BD=27cm. Gjeni OB dhe OD.

Tregoni pse trekëndëshat DOC dhe AOB janë të ngjashëm. Shënoni DO=x nga ku OB=27-x. Shkruani raportet e brinjëve përpjestimore.

Ushtrim 5

Njëra diagonale e trapezit është 33cm. Ajo e ndan diagonalen në dy pjesë me gjatësi 7 dhe 4cm. Të gjenden gjatësitë e diagonales së parë dhe baza e madhe nëse baza e vogël është 20cm.

Ushtrimi është  i njëjtë me ushtrimin 4 më sipër.

ngjashmeria15Ushtrim 6

Në trapezin ABCD (AB//CD) jepet baza e madhe AB=10cm. Zgjatimet e brinjëve anësore AD dhe BC priten në pikën M. Jepet AM=5cm dhe AD=4cm. Të gjendet vija e mesme e trapezit.

\Delta AMB\sim MDC\Rightarrow \frac{AM}{MD}=\frac{AB}{DC}\Rightarrow DC=2cm   nga ku x=\frac{AB+DC}{2}

0

Zbatime të ngjashmërisë së trekëndëshave. Udhëzime1.

ngjashmeria6Ushtrim 1

Në trekëndëshin me bazë AB=48cm dhe lartësi CH=16cm është brendashkruar drejtëkëndëshiMNPQ në të cilin MN:MQ=9:5. Të gjenden MN dhe MQ.

Shënojmë MN=x dhe MQ=y. Trekëndëshat ABC dhe QPC janë të ngjashëm (pse). (Raporti i lartësive, mesoreve, përgjysmoreve të hequra nga kulmet e këndeve përgjegjëse është i barabartë me koeficientin e ngjashmërisë).

Shkruajme raportet: \frac{16}{16-y}=\frac{48}{x}  , nga ana tjetër kemi \frac{x}{y}=\frac{9}{5} …..etj.

Ushtrim 2ngjashmeria7

Në figurë CD është përgjysmore e këndit C dhe DE//AC. Të vërtetohet se DE=CE. Të gjendet DE nëse BC=8 dhe AC=6cm.

Shohim këndet ndërrues të brendshëm të drejtëzave paralele AC e DE të prera nga drejtëza CD.

Shënojmë DE=CE=x. Shqyrtojmë trekëndëshat e ngjashëm ABC dhe DBC (tregoni pse janë të ngjashëm). Shkruajmë raportet: \frac{AC}{DE}=\frac{BC}{BE}\Rightarrow \frac{6}{x}=\frac{8}{8-x}\Rightarrow .....

ngjashmeria8Ushtrim 3

Në figurë ABCD është trapez. Këndet BAD dhe BDC janë të barabarta. Të gjenden BC dhe CD.

Trekëndëshi ABD i ngjashëm me DCB (këndet kongruente sipas radhitjes) A me D, B me C dhe D me B (ndërrues të brendshëm). Shkruajmë raportet: \frac{BD}{BC}=\frac{AD}{BD}=\frac{AB}{DC}….  etj.

Ushtrim 4

Në figurë jepen këndet ABC dhe ACD të barabarta. Të gjendet AD nëse AC=2cm dhe AB=4cm.ngjashmeria9

Shqyrtojmë trekëndëshat ABC dhe ACD. Të ngjashëm sepse këndin A e kanë të përbashkët plus nga një kënd të dhënë.

Shkruajmë raportet: \frac{AC}{AD}=\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}… etj.

ngjashmeria10Ushtrim 5

Në figurë AD është përgjysmore e këndit A. Të vërtetohet se trekëndëshat BED dhe EAB janë të ngjashëm.  Vërtetoni se EB^{2}=ED\cdot EA

Këndi EBC dhe këndi EAC janë kënde rrethore që mbështeten mbi të njejtin hark, prandaj janë kongruente. Duke patur parasysh kushtin del që këndet BAE dhe EBD janë kongruentë.

Trekëndëshat ABE dhe BDE janë  të ngjashëm sepse kanë edhe një kënd të përbashkët (AEB).

Raportet i shkruajmë duke patur parasysh brinjët homologe. …etj.

0

Ngjashmëria e trekëndëshave. Ushtrime 2

ngjashmeria4Ushtrim 4

Në figurë BD është përgjysmore e këndit B. Jepet DE//BC;  DF//AB; AB=4,5cm dhe BC=9cm. Të vërtetohet se katërkëndëshi BFDE është romb. Të gjendet perimetri i tij.

Katërkëndëshi BFDE është paralelogram (nga të dhënat e ushtrimit). Nga ana tjetër BD pret dy paralelet BC dhe DE, prandaj këndet EBD dhe BDF janë kongruentë si kënde ndërrues të brendshëm. BE=ED. Paralelogrami që ka dy brinjë të njëpasnjëshme të barabarta është romb.

Trekëndëshat AED dhe ABC janë të ngjashëm(PSE). Shënojmë me x brinjën e rombit. Shkruajmë raportet: \frac{AE}{AB}=\frac{ED}{BC}\Rightarrow \frac{4,5-x}{4,5}=\frac{x}{9}…etj.

Ushtrim 5

Dy trekëndësha dybrinjënjëshëm e kanë këndin në kulm të barabartë. Trekëndëshi i parë ka bazën 10cm dhe brinjën anësore 17cm. Trekëndëshi i dytë ka bazën 8cm. Të gjendet brinja anësore e trekëndëshit të dytë.

Dy trekëndëshat janë të ngjashëm (pse). Koeficienti i ngjashmërisë është  . k=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}  Brinja e trekëndëshit të dytë do të jetë 17\cdot k=17\cdot \frac{4}{5}

Ushtrim 6

Në figurë të vërtetohet se \frac{DA}{DC}=\frac{DM}{DB}ngjashmeria5 .

Trekëndëshat ADC dhe MDB janë të ngjashëm. Janë kënddrejtë dhe këndi ABE , ACD janë kongruentë si kënde me brinjë pingule. Shkruajmë raportet: \frac{DA}{DM}=\frac{DC}{DB}=\frac{AB}{BM} . Tek dy thyesat e para zbatojmë vetitë e numrave përpjestimorë.