USHTRIME MATEMATIKE Archive

0

Zbatime të derivatit

Tyrbja

1. Përafrimet e funksioneve

Për vlera shumë të vogla të Δx mund të shkruajmë 

f'(x)\approx \frac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}  nga ku

f(x+\triangle x)\approx f(x)+\bigtriangleup x\cdot f'(x)

Kjo formulë përdoret për llogaritjen e vlerave të  përafërta të funksionit (afër pikës x)

Shembull

Të llogariten përafërsisht:  a) \sqrt{1,002},   b)  \frac{1}{1,001} .

Përcaktojme funksionin shkruajmë formulë dhe bëjmë llogaritjet.  a) f(x)=\sqrt{x}   për x=1  dhe Δx=0,002.  f(1+0,002)\approx f(1)+0,002\cdot f'(1) .       f(1)=\sqrt{1}=1   ,  f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}  , f'(1)=\frac{1}{2}     atëherë kemi: \sqrt{1,002}=f(1+0,002)\approx 1+0,002\cdot \frac{1}{2}=1,001  .    b) f(x)=\frac{1}{x}    për x=1 ku Δx=0,001. Veprimet njëlloj si tek a).

2.Monotonia e funksionit

3. Vlera më e madhe(vogël) e funksionit

      I)”Funksioni i vazhdueshëm në segment merr vlerën më të madhe dhe më të vogël në këtë segment”

      II)”Nëse funksioni i vazhdueshëm në një interval ka vetëm një ekstremum, atëherë ai merr vlerën më të madhe ose më të vogël në këtë ekstremum përkatësisht kur është maksimum ose minimum”

Për të gjetur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni të vazhdueshëm në segmentin [a;b] veprojmë në këtë mënyrë: a)gjejmë ekstremumet b)gjejmë vlerat e funksionit në skaje dhe në ekstremume c)i krahasojmë ato duke përcaktuar vlerën më të madhe dhe më të vogël.

Shembull:

Të gjendet vlera më e madhe dhe më e vogël për funksionin f:y= x2-4x+5 në segmentin [0;3].

a)y’=2x-4  në x=2 funksioni merr minimum.(studjojmë shenjën e y’). b) f(0)=5,  f(2)=1,  f(3)=2. c)vlera më e madhe është 5 dhe më e vogla 1.

Në interval veprohet sipas pohimit të dytë.

4.Përkuelshmëria e grafikut të funksionit.

5.Rregullat e Hopitalit

0

Kuptimi Gjeometrik i derivatit

Zemanta Related Posts ThumbnailTangjente në pikën A të grafikut të funksionit y=f(x) quhet drejtëza që kalon nëA dhe ka për koeficient këndor limitin e koeficientit këndor të prerses AM kur h→0.

k=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)

Derivati i funksionit f në pikën a, kur ai ekziston është i barabartë me koeficientin këndor të tangjentes ndaj grafikut të funksionit f në pikën A me abshisë a. 

Ekuacioni i tangjentes së hequr në pikën A është:

y-f(a)=f'(a)(x-a)

Shembull

Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj grafikut të funksionit f:y=x2-5x në pikën a=2.  Ky ekuacion do të ketë trajtën y-f(2)=f'(2)(x-2).  f(2)=4-10=-6.  f'(x)=2x-5  , f'(2)=4-5=-1.  Ekuacioni  y+6=-1(x-2)  ose x+y+4=0.

0

Rregullat e derivimit

Zemanta Related Posts Thumbnail

\left ( f+g \right )'=f'+g'

\left ( f\cdot g \right )'=f'\cdot g+f\cdot g'

\left ( \frac{f}{g} \right )'=\frac{f'\cdot g-f\cdot g'}{g^{2}}

\left ( f^{n} \right )'=n\cdot f^{n-1}\cdot f'

\left ( c\cdot f \right )'=c\cdot f'

Për funksionin y=f[u(x)] përbërje e dy  funksioneve f: y=f(u) dhe u: x→u(x)

y'_{x}=y'_{u}\cdot u'_{x}

Tabela e derivateve

\left ( c \right )'=0

\left ( u^{\alpha } \right )'=\alpha \cdot u^{\alpha -1}\cdot u'

\left ( a^{u} \right )'=a^{u}\cdot lna\cdot u'

\left ( e^{u} \right )'=e^{u}\cdot u'

\left ( log_{a}u \right )'=\frac{1}{u\cdot lna}\cdot u'

\left ( lnu \right )'=\frac{1}{u}\cdot u'

 

\left ( sinu \right )'=cosu\cdot u'

\left ( cosu \right )'=-sinu\cdot u'

\left ( tgu \right )'=\frac{1}{cos^{2}u}\cdot u'

\left ( cotgu \right )'=-\frac{1}{sin^{2}u}\cdot u'

Tabela është për funksionin e përbërë y=f[u(x)]  ku u: x→u(x) është i derivueshëm në pikën x.

Shembuj:

1.\left ( 21 \right )'=0

2.\left [\left ( 4x^{2} -2x\right )^{5} \right ]'=5\cdot \left ( 4x^{2}-2x \right )^{4}\cdot \left ( 4x^{2} -2x\right )'=5\cdot \left ( 4x^{2}-2x \right )^{4}\cdot \left ( 8x-2 \right )=10\cdot \left ( 4x^{2}-2x \right )^{4}\cdot \left ( 4x-1 \right )

Derivati i funksionit y=u^{5}  ku  u(x)=4x^{2}-2x

3.\left (2^{2x+5} \right )'=2^{2x+5}\cdot ln2\cdot \left ( 2x+5 \right )'=2\cdot 2^{2x+5}\cdot ln2 

4.\left \left [log _{3}\left ( x^{2}-7x \right ) \right \right ]'=\frac{1}{\left (x^{2}-7x \right )\cdot ln3}\cdot\left ( x^{2}-7x \right )'=\frac{2x-7}{\left ( x^{2}-7x \right )\cdot ln3} 

5.\left [ ln\left ( x^{2}+2 \right )+sin\left ( 5x-e^{x} \right ) \right ]'=\left [ ln\left ( x^{2}+2 \right ) \right ]'+\left [ sin\left ( 5x-e^{x} \right ) \right ]'=\frac{1}{x^{2}+2}\cdot \left ( x^{2}+2 \right )'+cos\left ( 5x-e^{x} \right )\cdot \left ( 5x-e^{x} \right )'=\frac{2x}{x^{2}+2}+\left ( 5-e^{x}\ \right )\cdot cos\left ( 5x-e^{x} \right )

6.\left [ sin\sqrt{1+x^{2}} \right ]'=cos\sqrt{1+x^{2}}\cdot \left [ \sqrt{1+x^{2}} \right ]'=cos\sqrt{1+x^{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{1+x^{2}}}\left \cdot ( 1+x^{2} \right )'=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^{2}}}\cdot cos\sqrt{1+x^{2}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\cdot cos\sqrt{1+x^{2}}

0

Metodat e integrimit

Zbatimi i tabelës së integraleve dhe vetive.

Shembull 1

\int \left ( x^{2}+5x-\frac{1}{x} \right )dx=\int x^{2}dx+\int 5xdx-\int \frac{1}{x}dx=\int x^{2}dx+5\int xdx-\int \frac{dx}{x}=\frac{x^{3}}{3}+5\frac{x^{2}}{2}-ln\left | x \right |+cIntegrali i shumës së disa funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve. Faktori konstant del para shenjës së integralit.

Shembull 2

\int \frac{x^{3}-1}{x-1}dx=\int \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}dx=\int (x^{2}+x+1)dx=\int x^{2}dx+\int xdx+\int dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+c  Kryejme shndërrimet e nevojshme nën shenjën e integralit. (Formula të ndryshme, thjeshtime etj)

Shembull 3

\int \frac{cos2x}{cosx-sinx}dx=\int \frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{cosx-sinx}dx=\int \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{cosx-sinx}dx=\int (cosx+sinx)dx=\int cosxdx+\int sinxdx=sinx-cosx+c Formulat kryesore të trigonometrisë.

 Shndërrime nën shenjën e diferencialit.

 

 

Formulat e tabelës së integraleve ruajnë trajtën edhe kur në vend të ndryshores x vendoset një funksion apo shprehje u=u(x).  p.sh \int \frac{du}{u}=ln\left | u \right |+c

Shembull 1

\int (2x+1)^{10}dx=\frac{1}{2}\int (2x+1)^{10}d(2x+1)=\frac{1}{2}\frac{(2x+1)^{11}}{11}+c=\frac{(2x+1)^{11}}{22}+c   Në rolin e u është 2x+1 dhe d(2x+1)=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}d(2x+1). Duhet të dihet edhe kuptimi i diferencialit  d\left [ f(x) \right ]=f'(x)dx.

Shembull 2

\int \frac{dx}{1+3x}=\frac{1}{3}\int \frac{3dx}{1+3x}=\frac{1}{3}\int \frac{d(1+3x)}{1+3x}=\frac{1}{3}ln\left | 1+3x \right |+c   Në rolin e u është 1+3x  dhe d(1+3x)=3dx

Shembull 3

\int x(x^{2}+5)dx=\frac{1}{2}\int (x^{2}+5)d(x^{2}+5)=\frac{1}{2}\frac{(x^{2}+5)^{2}}{2}+c=\frac{(x^{2}+5)^{2}}{4}+c

Shembull 4

\int e^{5x+1}dx=\frac{1}{5}\int e^{5x+1}d(5x+1)=\frac{1}{5}e^{5x+1}+c

Shembull 5

\int \frac{cosx}{\sqrt{5+sinx}}dx=\int \frac{d(5+sinx)}{\sqrt{5+sinx}}=\int (5+sinx)^{\frac{1}{2}}d(5+sinx)=\frac{(5+sinx)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c=\frac{(5+sinx)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{3}\left ( \sqrt{5+sinx} \right )^{3}+c

Metoda e zëvendësimit
0

Integrali i Pacaktuar. Tabela dhe vetitë

22.1

F(x) quhet primitive e funksionit f(x) nese F'(x)=f(x). Bashkesina e primitivave F(x)+c te funksionit f(x) quhet integral i pacaktuar i funksionit f(x).

 
 
 
Tabela e integraleve

1) \int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+c     

2)\int dx=x+c

3)\int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+c

4)\int \frac{dx}{x}=ln\left | x \right |+c

5)\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{lna}+c

6)\int e^{x}dx=e^{x}+c

7)\int sinxdx=-cosx+c

8)\int cosdx=sinx+c

9)\int \frac{dx}{cos^{2}x}=tgx+c

10)\int \frac{dx}{sin^{2}x}=-cotgx+c

11)\int \frac{dx}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2a}ln\left | \frac{x-a}{x+a} \right |+c

12)\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a}}=ln\left | x+\sqrt{x+a} \right |+c

13)\int \frac{dx}{1+x^{2}}=artgx+c=-arcctgx+c

14)\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}artg\frac{x}{a}+c , a\neq 0

15)\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}=arcsinx+c=-arccosx+c

16)\int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=arcsin\frac{x}{a}+c, a>0

17)\int tgxdx=-ln\left | cosx \right |+c

18)\int cotgxdx=ln\left | sinx \right |+c

19)\int shxdx=chx+c

20)\int chxdx=shx+c

21)\int \frac{dx}{ch^{2}x}=thx+c

22)\int \frac{dx}{sh^{2}x}=-cthx+c

Vetite e integralit te pacaktuar:

1)\left ( \int f(x)dx \right )'=f(x)

2) d\left ( \int f(x)dx \right )=f(x)dx

3)\int F'(x)dx+F(x)+c

4)\int dF(x)=F(x)+c

5)\int \left [ f(x)\pm g(x) \right ]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx

6)\int kf(x)dx=k\int f(x)dx

0

Derivati. Kuptimi i Derivatit

tanxhentja** Nëse funksioni f:y=f(x) është i përcaktuar në një interval I dhe pika a pikë e këtij intervali atëherë me përkufizim derivat i funksionit në x=a quhet \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  nëse ekziston. Shënohet    f'(a)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  ose  \frac{df(a)}{dx}.  Në shumë raste është më e përshtatshme njehsimi me me anë të: \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) .

Në praktikë:

Pika materiale kryen levizje drejtevizore sipas ligjit S=S(t).  Në çastin 2s ajo ndodhet në pikën A dhe në çastin (2+Δt)s ndodhet në pikën B. Zhvendosja AB do të jetë  AB=S(2+Δt)-S(2).   Shpejtësia mesatare gjatë kësaj zhvendosje do të jetë \frac{AB}{\triangle t}=\frac{S(2+\triangle t)-S(2)}{\triangle t} Sa më e vogël që të jetë Δt aq më mirë shpejtësia mesatare i afrohet shpejtësisë në çastin 2s (në pikën A). Rrjedhimisht shpejtësia e çastit 2s do të jetë e barabartë me limitin e këtij raporti, pra me derivatin e funksionit S(t) në pikën t=2  me S'(2).

Le të jetë f një funksion i përcaktuar në një interval I dhe a, a+Δx dy numra nga ky interval. Shprehja v(a)=\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  për a të fiksuar varet nga Δx dhe jep shpejtësinë mesatare të ndryshimit të vlerave të funksionit kur x kalon nga a në a+Δx. Limit i shpejtësisë mesatare kur Δx shkon në 0  jep derivatin e funksionit në pikën a (shpejtësinë e çastit). Derivati i funksionit në pikën x=a është shpejtësia e çastit e ndryshimit të vlerave të funksionit në këtë pikë.

Nëse zhvillimi i një procesi jepet me anë të një funksioni, shpejtësia e çastit e zhvillimit të procesit jepet si derivat i funksionit në këtë pikë (çast).
0

Limiti i funksionit Matura 2013. Forma e pacaktuar ∞-∞,∞/∞,0/0

maturaGjeni limitet:

a)\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}+1}+x \right )

b) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+16}-4}

c) \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+x}-x}

zgjidhje

a) \lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}+1}+x \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+1}+x \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )}{\left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{x^{2}+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}-x}=0  sepse \lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}+1}-x \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left ( \sqrt{x^{2}\left ( 1+\frac{1}{x^{2}} \right )}-x \right )=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ -x\left ( \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+1 \right ) \right ] =+\infty       \sqrt{x^{2}}=-x  per x<0

b)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+16}-4}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( \sqrt{x^{2}+1}-1 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )\left (\sqrt{x^{2}+16}+4 \right )}{\left ( \sqrt{x^{2}+16}-4 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+16}+4 \right )\left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}\left ( \sqrt{x^{2}+16}+4 \right )}{x^{2}\left ( \sqrt{x^{2}+1}+1 \right )}=\frac{8}{4}=4

c) \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x}}{\sqrt[4]{x^{3}+x}-x}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x\left ( \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}+\sqrt{\frac{1}{x}} \right )}{x\left ( \sqrt[4]{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{3}}}-1 \right )}=-1  Kryej veprimet qe nga faktorizimi brenda rrenjeve, pastaj thjeshto me x .

Join the Forum discussion on this post

0

Konsultime Mat avancuar 26.06.2013. Limiti 1

neperitGjeni limitet:  

a) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cosx\left ( 1-cosx \right )}{sin^{2}x}  

b) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos3x-cosx}{cosx-1}  

c)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos^{2}x}{x\cdot sinx} 

d)\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\pi -2x}{cosx}   

e)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x}}{tg^{2}x}

zgjidhje

a) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{2cosx\left ( 1-cosx \right )}{sin^{2}x}=\lim_{x\rightarrow 0}\left [\frac{1-cosx}{x^{2}}\cdot \frac{x^{2}}{sin^{2}x}\cdot 2cosx \right ]=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 2=1

b) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos3x-cosx}{cosx-1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (1-cosx \right )-\left ( 1-cos3x \right )}{-\left ( 1-cosx \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{1-cos3x}{1-cosx}-1 \right ]=\lim_{x\rightarrow 0}\left [\frac{1-cos3x}{(3x)^{2}}\cdot \frac{x^{2}}{1-cosx}\cdot 9-1 \right ]=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 9-1=8

c) \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos^{2}x}{x\cdot sinx}=\lim_{x\rightarrow 0}\left [\frac{1-cosx}{x^{2}}\cdot\frac{x}{sinx} \right ]=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}

d) Zevendesojme  \frac{\pi }{2}-x=tx\rightarrow \frac{\pi }{2}\Rightarrow t\rightarrow 0  atehere\lim_{x\rightarrow \frac{\pi }{2}}\frac{\pi -2x}{cosx}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{\pi -2\left ( \frac{\pi }{2}-t \right )}{cos\left ( \frac{\pi }{2}-t \right )}=\lim_{t\rightarrow 0}\frac{2t}{sint}=2\cdot \lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{sint}=2

e)\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x}}{tg^{2}x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left (\sqrt{1+xsinx}-\sqrt{cos2x} \right )\cdot \left ( \sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x} \right )}{tg^{2}x\cdot \left ( \sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x} \right )}=\lim_{x\rightarrow 0}\left [\frac{1+xsinx-cos2x}{tg^{2}x\cdot \left ( \sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x} \right )} \right ]=\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \frac{1-cos2x+xsinx}{tg^{2}x} \right\cdot \frac{1}{\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}} ]=\lim_{x\rightarrow 0}\left [ \left (\frac{1-cos2x}{tg^{2}x}+\frac{xsinx}{tg^{2}x} \right )\cdot \left ( \frac{1}{\sqrt{1+xsinx}+\sqrt{cos2x}} \right ) \right ]=....

Rregullo vetem faktorin  e pare ne kllapa \frac{1-cos2x}{\left ( 2x \right )^{2}}\cdot 4\cdot \frac{x^{2}}{tg^{2}x}+\frac{x}{sinx}\cdot cos^{2}x   dhe llogarit limitin.

Problemi eshte te veqosh limitet e rendesishme te:   \frac{sinax}{ax}  , \frac{1-cos\left (ax \right )}{(ax)^{2}} , \frac{tg(ax)}{ax}  etj. sepse ne shumicen e rasteve tek ato eshte forma e pacaktuar

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni i anasjellte. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

linuxmint1Nese per nje funksion relacioni i anasjellte i tij eshte funksion, atehere themi ai se ka funksion te anasjellte.

KNM qe nje funksion te kete funx te anasjellte eshte qe ai te jete bijeksion. Pra per te provuar se funksioni ka te anasjellte do te provojme se ai eshte bijeksion.

1.Tregoni se funksioni  y=\frac{1}{3}2^{x-1}  eshte bijeksion i BP   (E)  ne BV  (F)  te tij. Gjeni formulen per funksionin e anasjellte.

zgjidhje

E=R  (bashkesia e percaktimit) F=]0;+\infty ]  (bashkesia e vlerave)

y'=\frac{1}{3}2^{x-1}(x-1)'ln2=\frac{1}{3}2^{x-1}ln2>0   funksioni eshte rrites ne gjithe E, prandaj eshte injektiv.

Ekuacioni b=\frac{1}{3}2^{x-1}\Leftrightarrow b=\frac{1}{3}\cdot 2^{x}\cdot 2^{-1}\Leftrightarrow 2^{x}=6b\Leftrightarrow x=log_{2}6b  , b>0 ekuacioni ka zgjidhje atehere funksioni eshte syrjektiv. Funksioni eshte Bijektiv prandaj ka funksion te anasjellte.

Per te gjetur formulen e funksionit te anasjellte ne menyre mekanike nxjerrim x ne varesi te y dhe nderrojme vendet e ndryshoreve.

 y=\frac{1}{3}2^{x-1}\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}\cdot 2^{x}\cdot 2^{-1}\Leftrightarrow 2^{x}=6y\Leftrightarrow x=log_{2}6y   atehere f^{-1}:y=log_{2}6x

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni injektiv, syrjektiv. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

Funksioni f:X\rightarrow Y  quhet bijektiv vetem nese ai eshte njeheresh edhe injektiv edhe syrjektiv.

y=f(x)  bijeksion \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \forall x_{1},x_{2}\epsilon X,x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})\\ \forall b\epsilon Y,\exists x_{1}\epsilon X, qe, f(x_{1})=b \end{matrix}\right.  ,me fjale,  fytyra te ndryshme kane shembellime te ndryshme, dhe çdo element i bashkesise se mbarimit eshte vlere e funksionit.  (ndryshe pasqyrim nje per nje)

1.Tregoni se funksioni y=\frac{a}{x}  eshte bijeksion i R^{*} ne R^{*}(a\neq 0)

zgjidhje

x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow \frac{a}{x_{1}}\neq \frac{a}{x_{2}}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})    funksioni eshte injektiv. Le te jete b\epsilon R^{*} e çfardoshme, ekuacioni b=\frac{x_{1}}{a}  ka zgjidhje numrin x_{1}=a\cdot b   e cila ekziston gjithmone, prandaj funksioni eshte syrjektiv, per pasoje eshte bijektiv.

2.Shqyrtoni funksionin y=2x^{2}.

zgjidhje

Per x_{1}=-1,x_{2}=1  kemi   x_{1}\neq x_{2}    por  f(x_{1})=f(x_{2})=2  funksioni nuk eshte injektiv sepse fytyra te ndryshme kane te njejtin shembellim. Prandaj nuk eshte as bijektiv.

3.Shqyrtoni te njejtin funksion por me fillim ne R^{+}  dhe mbarim ne R.

zgjidhje

Per x>0  , x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow 2x_{1}^{2}\neq 2x_{2}^{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})   pra funksioni eshte injektiv. VO Funksioni monoton ne nje bashkesi eshte injektiv. Perveq menyres se mesiperme mund te veprojme edhe duke studiuar monotonone e funksionit. Ne rastin tone derivati ne bashkesine ku shqyrtohet eshte pozitiv kjo sjell qe funksioni eshte rrites ne gjithe bashkesine , prandaj eshte injektiv.

Ekuacioni b=2x^{2}  nuk ka zgjidhje per çdo b\epsilon R. per shembull b=-4.  Atehere nuk eshte syrjektiv si pasoje nuk eshte bijektiv.

VO. Te njejtin funksion e shqyrtojme me fillim ne R^{+}  dhe mbarim ne R^{+} . Ne kete rast eshte bijeksion. Argumentojeni vete. Prandaj eshte shume e rendesishme te shikohet bashkesia e fillimit dhe e mbarimit.

4.Si duhet te jete m qe funksioni i meposhtem te jete bijeksion i R ne R.   \left\{\begin{matrix} -x & per &x<0 \\ mx^{2}&per & x\geq 0 \end{matrix}\right.  

22.1zgjidhje

Per disa funksione duhet edhe arsyetimi me ane te grafikut te funksionit. Funksioni eshte injektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne te shumten nje pike. Funksioni eshte syrjektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne te pakten nje pike. Funksioni eshte bijektiv kur çdo drejtez paralel me Ox e pret grafikun ne nje dhe vetem nje pike.

Arsyetojme per funksionin tone: Pjesa e pare e grafikut eshte pergjysmorja e kuadrantit te dyte. Qe funksioni te jete injektiv duhet pjesa e dyte e grafikut te funksionit, qe eshte njera nga pjeset simetrike te paraboles, te jete poshte boshtit Ox. Prandaj m<0  . Per m<0  duke i trajtuar dy pjeset veç e veç shohim qe funksioni eshte bijektiv. Arsyetimi mund te plotesohet duke ndertuar grafikun.

Postimi tjeter per funksionin e anasjellte

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni joperiodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

sinusx21.Tregoni se funksionet e meposhtme nuk jane periodike. a)y=cos(x)^{2}   b)y=sin\sqrt{x}     c)y=sin\left | x \right | 

zgjidhje

Le te jete T numri me i vogel qe ploteson kushtin f(x+T)=f(x)  atehere per funksionin e pare kemi: cos(x+T)^{2}=cos(x)^{2}\Rightarrow (x+T)^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow x^{2}+2Tx+T^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow T^{2}+2Tx-2\pi =0   

Do te thote se ekzistenca dhe vlera  e T varet nga x, per vlera te ndryshme te x T merr vlera te ndryshme, pra funksioni nuk mund te jete periodik sepse nuk ekziston asnje T qe ploteson perkufizimin.

Arsyetimi eshte njelloj edhe per rastet tjera vetem ndryshojne veprimet.

b)sin\sqrt{x+T}=sin\sqrt{x}\Rightarrow \sqrt{x+T}-\sqrt{x}=2\pi \Rightarrow \sqrt{x+T}=\sqrt{x}+2\pi \Rightarrow x+T=x+4\pi^{2} +4\pi \sqrt{x}\Rightarrow T=4\pi ^{2}+4\pi \sqrt{x}

c)sin\left | x+T \right |=sin\left | x \right |\Rightarrow \left | x+T \right |-\left | x \right |=2\pi .  per  x<0 dhe \left |x \right |<T  kemi x+T+x=2\pi \Rightarrow T=2\pi -2x  .  Nuk ploteson perkufizimin

Ne postimin tjeter funksioni injektiv, syrjektiv, bijektiv. Funksioni i anasjellte

0

Konsultimet Mat avancuar Funksioni periodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

sinus1.Gjeni perioden e funksioneve te meposhtme: a)y=sinx\cdot cosx   b)y=2cos^{2}x-1 , c)y=sin^{2}x   d)y=\frac{cosx}{sinx}   

zgjidhje

Funksionet sinkx, coskx, kane perioden T=\frac{2\pi }{k}, ndersa funksionet tgkx, cotgkx  kane perioden T=\frac{\pi }{k} 

a) y=sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}\cdot 2sinx\cdot cosx=\frac{1}{2}sin2x\Rightarrow T=\frac{2\pi }{2}=\pi

b)y=2cos^{2}x-1=cos^{2}x-sin^{2}x=cos2x\Rightarrow T=\pi

c)cos2x=cos^{2}x-sin^{2}x=1-2sin^{2}x\Rightarrow sin^{2}x=\frac{1}{2}\left ( 1-cos2x \right )   Te vertetojme se perioda e ketij funksioni eshte pi.  Shenojme me T perioden e funksionit.f(x+T)=f(x)\Rightarrow \frac{1}{2}\left [ 1-cos2(x+T) \right ]=\frac{1}{2}\left ( 1-cos2x \right )\Leftrightarrow 1-cos2(x+T)=1-cos2x\Leftrightarrow cos2(x+T)=cos2x\Rightarrow 2(x+T)-2x=2\pi \Rightarrow T=\pi

d)Njelloj funksioni eshte cotgx.

2.Vertetoni se nese funksioni f eshte periodik me periode T, atehere funksioni g:y=A\cdot f(kx+b)  ku A, k, b jane konstante (k>0) eshte periodik me periode T/k.

zgjidhje

Funksioni f periodik kjo do te thote se f(x+T)=f(x)\Rightarrow f\left [ (kx+b)+T \right ]=f(kx+b) . E zeme se a eshte perioda e funksionit g d.m.th g(x+a)=g(x)\Rightarrow g(x+a)=A\cdot f\left [ k(x+a)+b \right ]=A\cdot f\left [ (kx+b)+ka \right ]=A\cdot f(kx+b)=g(x)\Rightarrow ka=T\Rightarrow a=\frac{T}{k}

Postimi tjeter per funksionet jo periodike

0

Konsultimet Mat avancuar 21 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

21.21.Ne drejtezen d:\frac{x}{1}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-3}{-1}  te gjendet pika me e afert me piken A(3,2,6)

zgjidhje

Pika me e afert e pikes A ne drejtezen d eshte M projeksioni i A ne d. Per ta gjetur kete pike ndertojme planin a pingul me drejtezen d dhe gjejme pikeprerjen e ketij plani me drejtezen.Vektori drejtues i drejtezes d sheben si vektor pingul per planin. Ekuacioni i planit eshte  1\cdot (x-3)+2\cdot (y-2)-1\cdot (z-6)=0\Leftrightarrow x+2y-z-1=0

Ekuacionet parametrike te drejtezes jane: \left \{ \begin{matrix} x=t \\ y=2t-7\\ z=-t+3 \end{matrix} \right.   Kordinatat e pikes M gjenden duke zgjidhur sistemin: \left \{ \begin{matrix} x=t \\ y=2t-7\\ z=-t+3\\ x+2y-z-1=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow t+2(2t-7)-(-t+3)-1=0\Leftrightarrow t=3

zevendesojme dhe gjejme x=3, y=-1, z=0  dmth M(3;-1;0)

2.Te vertetohet se drejteza \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{3}   shtrihet ne planin x+y-z-6=0

zgjidhje

Nje menyre zgjidhje eshte duke vendosur ne nje sistem ekuacionet parametrike te drejtezes dhe ekuacionin e planit  si me siper. Ekuacioni i fundit do te kete pafundesi zgjidhjesh do te jete i formes  0\cdot t=0

Menyra e dyte: Ekuacionet parametrike te drejtezes jane:   \left \{ \begin{matrix} x=2t+2\\ y=t+3\\ z=3t-1 \end{matrix} \right.   Marrim dy pika te çfardoshme te drejtezes dhe provojme se i perkasin planit, vertetojne ekuacionin e tij. (Nese dy pika te nje drejteze ndodhen ne nje plan atehere e gjithe drejteza shtrihet ne ate plan). Per t=0  marrim x=2, y=3, z=-1. Zevendesojme tek plani 2+3+1-6=0 (i vertete).  Per t=1 marrim x=4, y=4, z=2. Zevendesojme 4+4-2-6=0 (ivertete). Drejteza shtrihet ne plan.

3.Plani mx+ny+6z+3 dhe drejteza   \frac{x-2}{2}+\frac{y+5}{-4}=\frac{z+1}{3}  jane pingule. Te gjendet m+n

zgjidhje

Meqe drejteza eshte pingul me planin vektori drejtues i drejtezes eshte paralel me vektorin pingul te planit. \frac{m}{2}+\frac{n}{-4}=\frac{6}{3}=2\Rightarrow m=4\wedge n=-8\Rightarrow m+n=-4 

4.Te shkruhet ekuacioni i planit qe kalon nga pika A(-1,2,-3) dhe eshte paralel me vektoret: \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 0 \end{pmatrix} , \vec{b}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}

zgjidhje

Menyra e pare: meqe plani eshte paralel me dy vektoret kjo do te thote se ai do te jete pingul me prodhimin vektorial te tyre. Keshtu do te gjejme \vec{a}X\vec{b} dhe pastaj ekuacionin e planit qe kalon nga nje pike e dhene pingul me nje vektor te dhene.

Menyra e dyte: Le te jete M(x;y;z) nje pike e çfardoshme e planit te kerkuar. Vektoret    \overrightarrow{AM},\vec{a}, \vec{b}   jane bashkeplanare kjo do te thote se percaktori: \left | \begin{matrix} x+1 &2 &-1 \\ y-2& -3 & 2\\ z+3 &0 & 4 \end{matrix} \right |=0\Leftrightarrow -12(x+1)+4(z+3)-3(z+3)-8(y-2)=0\Leftrightarrow -12x-12+z+3-8y+16=0\Leftrightarrow 12x+8y-z-7=0

0

Konsultimet Mat avancuar 20/1 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

linuxmint1**Numri \left ( \vec{a}X\vec{b} \right )\cdot \vec{c}   quhet prodhim i perzier i tre vektoreve.

**Kur vektoret jepen ne kordinata prodhimi i perzier gjendet duke llogaritur percaktorin qe ka per shtylla kordinatat e tre vektoreve.

**Vlera absolute e prodhimit te perzier te tre vektoreve eshte e barabarte me vellimin e paralelopipedit te ndertuar mbi keta vektore. 

**VO Nese vektoret jane ne te njejtin plan atehere nuk formohet paralelopiped, prandaj prodhimi do te jete zero.

**KNM Qe tre vektore te jene bashkeplanare eshte qe prodhimi i perzier i tyre te jete zero.

1.Te gjendet vellimi i piramides me kulme  A(2;1;-2), B(3;3;3), C(1;1;2) dhe D(-1;-2;-3)

zgjidhje

Vellimi i piramides do te jete sa 1/6 e vellimit te paralelopipedit te ndertuar mbi vektoret AB, AC, AD.

\overrightarrow{AB}=\left ( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5\end{matrix} \right )     \overrightarrow{AC}=\left ( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 4\end{matrix} \right )    \overrightarrow{AD}=\left ( \begin{matrix} -3\\ -3\\ -1\end{matrix} \right )   Llogaritim prodhimin e perzier (percaktorin)  

2.\left | \begin{matrix} 1 & -1 &-3 \\ 2& 0 & -3\\ 5& 4 & -1 \end{matrix} \right |=0+15-24+0-2+12=1\Rightarrow V=\frac{1}{6} 

2.Jepen vektoret \vec{a}=\left ( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right )  dhe  \vec{b}=\left ( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right )  . Te gjenden kordinatat e vektorit \vec{c}  i cili eshte pingul me dy vektoret dhe ka gjatesine \left |\vec{c} \right |=2\sqrt{11}

udhezim

Vektori i kerkuar do te jete bashkevijor me vektorin prodhim vektorial te dy vektoreve \vec{a}  dhe \vec{b} , gjejme kordinatat m,n,p te prodhimit vektorial. Vektori \vec{c} do te kete kordinatat mx,ny,pz shfrytezojme gjatesine  dhe gjejme k. 2\sqrt{11}=\sqrt{(km)^{2}+(kn)^{2}+(kp)^{2}} .

3.Te shkruhet ekuacioni i planit ne te cilin pika M(3;-1;0) eshte projeksion i pikes N(4;2;-2) ne kete plan.

zgjidhje

**Ekuacioni ax+by+cz+d=0 eshte ekuacioni i pergjithshem i planit. Vektori \vec{n}=\left ( \begin{matrix} a\\ b\\ c \end{matrix} \right )  eshte vektori pingul i planit. Prandaj per te gjetur ekuacionin e nje plani na duhet nje vektor pingul dhe nje pike e planit.

Ne rastin konkret pika M eshte pike e planit ndersa vektori MN eshte vektor pingul me planin.  \overrightarrow{MN}=\left ( \begin{matrix} 1\\ 3\\ -2 \end{matrix} \right )  Ekuacioni i planit ka trajten x+3y-2z+d=0. Pika M eshte pike e planit prandaj kordinatat e saj vertetojne ekuacionin.  3+3\cdot (-1)-2\cdot 0+d=0\Rightarrow d=0  Ekuacioni eshte x+3y-2z=0

4.Te shkruhet ekuacioni i planit   2x-3y+4z-12=0  ne segmente.

zgjidhje

** ( \frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1  eshte ekuacioni i planit ne segmente. m,n,p tregojne kordinatat respektive te prerjes se tij me boshtet kordinative)

Shnderrojme ekuacionin 2x-3y+4z=12\Leftrightarrow \frac{2x}{12}+\frac{3y}{-12}+\frac{4z}{12}=1\Leftrightarrow \frac{x}{6}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{3}=1 .Pkat e prerjes me boshtet kordinative kane kordinata: (6;0;0), (0;-4;0),(003).

0

Konsultimet Mat avancuar 20 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

ura111.Jepet trekendeshi me kulme A(2;1;1), B(3;-2;2) dhe C(0;3;-1). Te gjendet gjatesia e mesores BM.

zgjidhje

Gjejme kordinatat e pikes M mesi i AC.  x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+0}{2}=1,   y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+3}{2}=2z_{M}=\frac{z_{A}+z_{C}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0  .  M(1;2;0).   Gjejme vektorin \overrightarrow{BM}=\left ( \begin{matrix} 1-3\\ 2+2\\ 0-2\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} -2\\ 4\\ -2\end{matrix} \right )  , gjejme gjatesine e tij.  \left | \overrightarrow{BM} \right |=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}  .

2.Jepen vektoret  \vec{u} dhe \vec{v} , te tille qe \left | \vec{u}-\vec{v} \right |^{2}=\left | \vec{u} \right |^{2}+\left | \vec{v} \right |^{2}  . Te vertetohet se keta vektore jane pingule.

zgjidhje

\left | \vec{u}-\vec{v} \right |^{2}={\left ( \vec{u}-\vec{v} \right )^{2}}={\vec{u}^{2}-2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}}    sjell {\vec{u}^{2}-2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}}=\vec{u}^{2}+\vec{v}^{2}   katrori numerik i vektorit eshte i barabarte me katrorin e gjatesise se tij.  Prandaj kemi  -2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}=0\Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{v}=0\Rightarrow \vec{u}\perp \vec{v} 

3.Jepet \left | \vec{a} \right |=2  , \left | \vec{b} \right |=5  dhe  \vec{a}\cdot \vec{b}=-5  . Gjeni   \left |\vec{a}X \vec{b} \right |   (gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre)

zgjidhje

2\cdot 5\cdot cos\alpha =-5\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-\left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}      atehere  \left | \vec{a}X\vec{b} \right |=2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

4.Te gjendet siperfaqja e trekendeshi me kulme  A(3;4;-1), B(2;0;3)  dhe C(-3;5;4)

zgjidhje

**Siperfaqja e paralelogramit te ndertuar mbi dy vektore eshte e barabarte me gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre.  VO Nese vektoret jane bashkevijore nuk formohet paralelogram ne kete rast prodhimi vektorial eshte i barabarte me vektorin zero. Ndryshe KNM qe dy vektore te jene bashkevijore eshte qe prodhimi vektorial i tyre te jete vektori zero.

Ne rastin tone siperfaqja e trekendeshitdo te jete gjysma e siperfaqes se paralelogramit. Gjejme vektoret \overrightarrow{AB}=\left ( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 4\end{matrix} \right )  \overrightarrow{AC}=\left ( \begin{matrix} -6\\ 1\\ 5\end{matrix} \right ) 

**Prodhimi vektorial i dy vektoreve kur jane dhene kordinatat e tyre gjendet duke llogaritur percaktorin ne te cilin ne shtyllen e pare vendosen vektoret njesi ndersa ne dy shtyllat tjera perkatesisht kordinatat e dy vektoreve.

\overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC} =\left | \begin{matrix} \vec{i} & -1 & -6\\ \vec{j}& -4 & 1\\ \vec{k}& 4 & 5 \end{matrix} \right |=-20\vec{i}-24\vec{j}-\vec{k}-24\vec{k}+5\vec{j}-4\vec{i}=-24\vec{i}-19\vec{j}-25\vec{k}  

S=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(-24)^{2}+(-19)^{2}+(-25)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{1562}

0

Konsultimet Mat avancuar 19 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

19.41.Drejtekendeshi ABCD me brinje AB=6cm dhe BC=8cm perthyhet sipas diagonales AC ne menyre qe planet (ACB) dhe (ACD) te jene pingule. Gjeni largesen e re midis pikave B dhe D.

zgjidhje

Mbi diagonalen AC hiqen lartesite nga kulmet D dhe B. Kembet e ketyre pinguleve i shenojme perkatesisht F dhe E.  [BE] eshte pingul me planin (ADC) prandaj eshte pingul me [DE]. Duke perdorur teoremen e Pitagores gjejme AC=10.  Gjejme siperfaqen e trekendeshit ADC. S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24.  Nga ana tjeter    19.3S_{ADC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot DF  gjejme DF=BE=\frac{24}{5}.   Gjejme FC ne trekendeshin DFC  (T. Pitagores) . FC=AE=\frac{18}{5}   nga kuEF=AC-AE-FC=\frac{14}{5}  . Ne trekendeshin DEF gjejme DE^{2}=EF^{2}+DF^{2}.  Ne trekendesin BDE kenddrejte ne E gjejme BD.  BD^{2}=DE^{2}+BE^{2}=EF^{2}+DF^{2}+BE^{2}

2. Baza e piramides trekendore SABC eshte trekendesh dybrinjenjeshemABC, ku AB=AC=10cm dhe BC=12cm. Te gjitha faqet anesore te piramides kane lartesi qe dalin nga kulmi S te barabarta me 20cm. Gjeni lartesine e piramides.

zgjidhje

19.5Ne trekendeshin e bazes ABC gjejme p=\frac{10+10+12}{2}=16  dhe  S=\sqrt{16\cdot 6\cdot 6\cdot 4}=48  (Formula e Heronit). Ndertojme SO pingul me planin e trekendeshit.  SE=SF=SK  jane te pjerrta per planin e trekendeshit. Te pjerrta te barabarta kane projeksione te barabarta prandaj OE=OF=OK.  Nga ana tjeter  OE, OF, OK jane pingul perkatesisht me brinjet e trekendeshit (teorema e 3 pinguleve  SF \perp AB\Rightarrow OF\perp AB)  kjo do te thote se O eshte qendra e rrethit brendashkruar trekendeshit ABC.  Ne formulen S=p\cdot r  gjejme  r=\frac{S}{p}=\frac{48}{16}=3  . Ne trekendeshin SOF gjejme SO me teoremen e Pitagores….

19.63.Jepet rrethi me diameter AB. Nga skaji A hiqet tangjentja e rrethit, kurse nga skaji B hiqet nje drejtez qe formon kendin 300 me diametrin dhe pret rrethin ne C, kurse tangjenten ne P. Jepet PA=3cm. Gjeni BC.

zgjidhje

PB=6cm (perballe kendit 300).  PA^{2}=PC\cdot PB\Rightarrow 9=(6-x)\cdot 6\Rightarrow x=\frac{9}{2}  

4.Katetet e nje trekendeshi kenddrejte jane 15 dhe 20 cm. Nje plan kalon nga hipotenuza dhe formon me planin e trekendeshit kendin 300.  Gjeni largesen e kulmit te kendit te drejte te trekendeshit nga plani.

19.7udhezim

Gjejme hipotenuzen AB me teoreme te Pitagores. Gjejme lartesine e trekendeshit te hequr nga kulmi i kendit te drejte C duke shprehur siperfaqen e trekendeshit ne dy menyra. Ne fund ne trekendeshin kenddrejte COH  kateti CO eshte sa gjysma e hipotenuzes.

0

Konsultimet Mat avancuar 18 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

19.11.Jepet rrethi me qender origjinen e kordinatave dhe me rreze 1 njesi. Gjeni bashkesine e pikave te planit nga te cilat ky rreth shihet ne kend te drejte.

zgjidhje

Ekuacioni i rrethit eshte x^{2}+y^{2}=1.  Le te jete M(x;y) pike e çfardoshme e  vendit gjeometrik te kerkuar.  Kendi BMA i drejte, nga ana tjeter MA=MB (tangjentet ndaj rrethit te hequra nga nje pike jashte tij jane te barabarta),  OA=OB=1   si rreze te rrethit. Katerkendeshi OAMB eshte katror.  OM^{2}=OA^{2}+AM^{2}=1+1=2  . Nga ana tjeter ne kordinata OM^{2}=x^{2}+y^{2}.   Kjo do te thote se kordinatat e pikes M plotesojne kushtin x^{2}+y^{2}=2  pra bashkesia e pikave te kerkuara eshte rrethi me qender O dhe rreze  \sqrt{2}.

2.Jane dhene pikat A(1;2) dhe B(3;4). Shkruani ekuacionet e dy drejtezave qe kalojne nga origjina e kordinatave dhe jane te baraslarguara nga pikat A dhe B.

Zgjidhje

19.2Menyra e pare: Drejteza kalon nga origjina prandaj ekuacioni i saj ka formen y=ax\Rightarrow ax-y=0. Shprehim largesat e pikave A dhe B nga drejteza.d_{A}=\frac{\left | a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}  ndersa d_{B}=\frac{\left | 3a-4 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}  . Dy largesat jane te barabarta  duke kryer shnderrimet marrim \left | 3a-4 \right |=\left | a-2|\Rightarrow 3a-4=\pm \left ( a-2 \right )   nga ku gjejme  a=1  ose  a=\frac{3}{2}.  Ekuacionet e drejtezave jane  y=x   dhe  y=\frac{3}{2}x.

Menyra e dyte: Njera drejtez do te jete paralel me (AB), drejteza tjeter do te kaloje nga pika M mesi i [AB].  Kuptohet te dyja kalojne ne origjine te kordinatave. Shiko figuren dhe kryej veprimet.

3. Gjeni shumen i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+.....+i^{2008}.  (i njesia imagjinare i=\sqrt{-1} )

zgjidhje

i^{4k}=1, i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}=-i.    Shkruajme vargun ndryshe:  \left ( i+i^{3}+i^{5}+....i^{2005}+i^{2007} \right )+\left ( i^{2}+i^{4}+i^{6}+....i^{2006}+i^{2008} \right )=\left ( i-i+i-i+...+i-i \right )+\left ( 1-1+1-1+....+1-1 \right )=0       i^{2008}=i^{4\cdot 502}=1

4.Vlerat e nje tipari statistikor  jane x_{1},x_{2},x_{3}, ...,x_{k} ndersa efektivat perkatese jane  n_{1},n_{2},n_{3}, ...,n_{k}.  Nese m eshte mesatarja aritmetike e kesaj shperndarje  tregono qe n_{1}(x_{1}-m)+n_{2}(x_{2}-m)+n_{3}(x_{3}-m)+...+n_{k}(x_{k}-m)=0  . 

Shprehim mesataren m=\frac{x_{1}\cdot n_{1}+x_{2}\cdot n_{2}+x_{3}\cdot n_{3}+...+x_{k}\cdot n_{k}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}}.  Shumzojme m me emruesin , i kalojme te gjitha kufizat ne njeren ane dhe i grupojme  ……..etj.

0

Me metodën e integrimit me pjesë gjeni sipërfaqet e kufizuara nga

a)vija me ekuacion y=lnx dhe boshti i abshisave për x në [2;4]

Read the rest of this entry »

0

Sipërfaqja e kufizuar nga grafikët e funksioneve y=f(x) dhe y=g(x)

1)  Figura kufizohet nga f(x)=x^{2}  dhe   g(x)=x^{2}-e^{x}  në segmentin \left [ -2;2 \right ] .

Read the rest of this entry »

0

Ushtrim për integralin e pacaktuar të (e) në fuqi (ax) shumzuar me cosx ose sinx

Le të jetë a numër real jo zero

a)Gjeni derivatin e funksionit f: y=e^{ax}\left ( Acosx+Bsinx \right )  ku A dhe B janë dy konstante reale

b)Nxirrni prej këtej primitivat e funksioneve  g: y=e^{ax}cosx  dhe h:y=e^{ax}sinx.

Zgjidhje

Read the rest of this entry »