Prerja e Artë

segmenti i prerjes se arteMë i njohuri ndër numrat irracional është numri π. Numri irracional φ është më pak i njohur përsa i përket emërtimit, por nga ana tjetër shpreh një raport bazë që ka po aq karakter universal sa π.

Përngjasimi dy numrave nuk ka të llogaritur ato shfaqen në situata të papritura, madje atje ku nuk të shkon fare mendja.

Ne shume vende ylli pesëcepësh eshte i vendosur ne flamujt dhe stemat e tyre. Bukuria e yllit ka baze matematikore, pikerisht tek ajo qe quhet PRERJE E ARTE.

Kuptimi gjeometrik i numrit φ.

Segmenti ndahet në dy pjesë a dhe b sipas “prerjes së artë” në mënyrë që   \frac{a}{b}=\frac{a+b}{a} . Nëse gjatësia e segmentit b merret 1 njësi atëherë raporti do të shkruhej  \frac{a+1}{a}=\frac{a}{1}  i cili mund të paraqitet në formëne një ekuacioni  a^{2}-a-1=0  i cili ka si rrënjë pozitive   a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}  .

Ky numr shpreh si gjatësinë e segmentit a ashtu edhe vlerën numerike të φ=1,61803398….. . Nëse mrrim si njësi gjatësinë e a atëherë gjatësia e numrit b do të shprehet me të anasjelltën e numrit φ,  b=1/φ =0,61803398… . Është interesante të theksohet se numri φ është i vetmi numër pozitiv që ka të anasjelltin e tij 1 njësi më të vogël. 

Numri φ mund të paraqitet në trajtën e shumave të pafundme.

\varphi =1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+....}}}}       dhe      \varphi =\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+}}}}  

Ku ndeshen përpjestimet e prerjes së artë.

ylliNxënësit e Pitagorës  “pitagorianët” e cilësonin pentagramin ose yllin pescepësh si simbol të tyre sepse raporti i çdo segmenti me segmentin më të vogël, ndarës të tij, shpreh vlerën e prerjes së artë.Tek ylli pika D e ndan segmentin CA ne raportin e prerjes së artë. Ajo ndan edhe segmentin AE ne ate raport. Gjatesite e segmenteve AC AB dhe gjatesite e segmenteve AB dhe AD jane ne raportin e arte.

Numri φ shpreh p.sh raportin e rrezes së një rrethi me brinjën e  dhjetkëndëshit të rregullt të brendashkruar në këtë rreth.

Nëse vendosim tre drejtkëndësha të artë (kanë brinjët  në raprt të prerjes së artë) në mënyrë që sejcili pret simetrikisht dy të tjerët (sipas një këndi të drejtë) vihet re se kulmet e drejtkëndëshave  puthiten me 12 kulmet e një ikosaedri të rregullt, njëkohësisht ato paraqitin qendrat e 12 faqeve të një dodekaedri të rregullt. (dymbëdhjetfaqëshi)

spiraljaNëse nga drejtkëndëshi i artë presim një katror me brinjë sa brinja e vogël atëherë drejtkëndëshi që përftohet është përsëri i artë. Duke vazhduar këtë proces pambarimisht formohet vargu i drejtkëndëshave të artë. Pikat që ndajnë brinjët e drejtkëndëshave të njëpasnjëshëm sipas prerjes gjenden në një spirale logaritmike që mblidhet nga brenda. (në sistemin kordinativ polar ekuacioni i spirales logaritmike është r=e^{a\cdot \varphi }  ku a konstante)

Trekëndëshi i artë  është trekëndëshi dybrinjënjëshëm në të cilin raporti i prerjes së artë është ndërmjet brinjës anësore dhe bazës. Përgjysmorja e njërit kënd të bazës formon dy trekëndësha, njëri prej tyre është i artë. Kështu mund të formojmë vargun e pafundëm të trekëndëshave të artë. Pikat e prerjes së përgjysmores me bprinjën ndodhen në njspirale logaritmike.

Spiralja logaritmike është i vetmi tip i familjes së spiraleve që nuk ndryshon formën e saj gjatë zmadhimit (zvoglimit) të përmasave.

Përpjestimet e prerjes së artë përdoren prej piktorëvë jo vetëm për heqjen e vijës së horizontit, por edhe për raportet midis elementeve të tjera të tablosë.

Leonardo da Vinçi e gjeti raportin e prerjes së artë në përpjestimet e trupit njerzor.

Johan Kepler për numrin φ do të shprehej:

“Gjeometria shpreh në vetvete dy visare: njëri prej tyre është teorema e Pitagorës, ndërsa i dyti është ndarja e segmentit sipas prerjes së artë. Në çoftë se e para do të krahasohet me një masë ari, e dyta, nuk mund të matet vetrupa gjeometriktëm se me një masë të tërë margaritarësh”