Bashkësitë dhe numrat Realë.Ushtrime të zgjidhura(Avancuar)

Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime.

1.Vërtetoni pohimin A\subset B\Rightarrow A\cap B=A

(Kur dy bashkësi janë të barabarta)

\RightarrowLe të jetë x një element i çfardoshëm i A\cap B të provojmë se është element i A.   x\epsilon A\cap B\Rightarrow \left (x\epsilon A\wedge x\epsilon B \right )\Rightarrow x\epsilon A

\Leftarrow Le të jetë x një element i çfardoshëm i A. Kemi: \left (x\epsilon A \right )\wedge \left (A\subset B \right )\Rightarrow x\epsilon B prandaj shkruajmë \left (x\epsilon A\wedge x\epsilon B \right )\Rightarrow x\epsilon \left (A\cap B \right )

2. Vërtetoni pohimin: \left (A\subset B\wedge A\subset C \right )\Rightarrow A\subset B\cap C     (Përkufizimi i nënbashkësisë)

Le të jetë x një element i çfardoshëm i A. Shkruajmë: \left (x\epsilon A\wedge A\subset B \right )\Rightarrow x\epsilon B  njëlloj \left (x\epsilon A\wedge A\subset C \right )\Rightarrow x\epsilon C . x\epsilon A\Rightarrow x\epsilon B\wedge x\epsilon C\Rightarrow x\epsilon B\cap C.  çdv.

3.Vërtetoni se katrori i çdo numri natyror çift është numër natyror çift. (n çift\Rightarrow n^{2} çift).

n=2k, (k\epsilon N)\Rightarrow n^{2}=\left ( 2k \right )^{2}=4k^{2}=2k_{1}  (çift)  ku k_{1}=\left (2k^{2} \right )\epsilon N.  çdv

ushtr14.Një klasë ka 28 nxënës. Nga këta 18 merren me not, 8 me futboll, kurse 7 nxënës merren me të dy llojet e sporteve. Sa nxënës nuk merren as me futboll as me not.

Shikoni diagramën.

5.Vërtetoni mosbarazimin \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\cdot \left ( a+b+c \right )\geq 9   kur a>0, b>0, c>0 .

Kryejmë veprimet në anën e majtë.  \left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\cdot \left ( a+b+c \right )=\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+3\geq 9  sepse sejcila prej kllapave është më e madhe ose e barabartë me 2. \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\geq 2   sepse: \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )- 2=\frac{a^{2}+b^{2}-2ab}{ab}=\frac{\left ( a-b \right )^{2}}{ab}\geq 0   (Mosbarazimet, kur një numër a është më i madh se numri b).