Kuptimi i Bashkësisë

Kuptimi i Bashkësisë është kuptim themelor i Matematikës. Kuptimet themelore janë ato kuptime të cilat nuk përkufizohen, si numri, pika, drejtëza, plani , bashkësia.

Me Bashknenbashk e Rësi kuptojmë një grumbull elementesh ku, për çdo element të shqyrtuar mund të themi në mënyrë të prerë se ndodhet apo nuk ndoshet në këtë Bashkësi. Shënohen me shkronjat e mëdhaja të alfabetit A, B, .

Me marveshje Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi Boshe dhe shënohet Φ (fi).

Elementet e Bashkësisë mund të tregohen një për një (kur bashkësia është e fundme), ose me ndihmën e një shkronje të vetme e cila përshkruan Bashkësinë dhe quhet ndryshore e saj. Kjo shkronjë mund ti vihet sejcilit prej elementeve të Bashkësisë A. Sejcili prej elementeve të A-së quhet vlerë e ndryshores. Në këtë rast Bashkësia jepet me përshkrim. (edhe për të fundmet edhe të pafundmet). Kur Bashkësia jepet me përshkrim vetia e elementeve jepet me anë të një fjalie matematikore që përmban ndryshore. Në këtë rast jepet edhe një bashkësi më e gjerë që quhet mjedis dhe është bashkësia e vlerave të mundshme të ndryshores x. Bashkësia në këtë rast përbëhet nga ato vlera për të cilat fjalia është e vërtetë.

Shembull: Shqyrtojmë në N fjalinë “x plotëpjestohet me 3”. Kjo fjali është e vërtetë për x=3, x=6, x=9 etj, por ka edhe numra për të cilët fjalia nuk është e vërtetë. Bashkësia e elementeve të N për të cilat fjalia është e vërtetë formon një bashkësi të re, e cila jepet me përshkrim :  lexohet  “x-et nga N të tilla që plotëpjestohen me 3”. Mjedisi është N ndërsa vetia karakteristike “numrat që plotëpjestohen me 3”

Bashkësia A është e barabartë me B nëse ço element i A i përket edhe B dhe anasjelltas, çdo element i B i përket edhe A.

Vetitë e Barazimit të bashkësive

  1. Pasqyrimit A=A
  2. Simetrisë A=B sjell B=A
  3. Kalimit A=B dhe B=C sjell A=C   

Bashkësia B quhet nënbashkësi e A nëse çdo element i B i përket bashkësisë A. Në këtë rast thuhet “B përfshihet në A” dhe shënohet B\subset A çdo element i B i përket bashkësisë A. Shenja \subset  është shenja e përfshirjes.

Për të treguar se B nuk është nënbashkësi e A,   mjafton të vërtetojmë se ekziston të paktën një element i B që nuk i përket A.

Vetitë e përfshirjes:

  1. Vetia e pasqyrimit A\subset A   e vërtetë.vetia e kalimit
  2. Vetia e simetrisë \left (A\subset B \right )\Rightarrow \left ( B\subset A \right ) nuk është e vërtetë
  3. Vetia e kalimit  \left (A\subset B \right )\wedge \left ( B\subset C \right )\Rightarrow \left ( A\subset C \right ) e vërtetë 

Për të provuar se A\subset C bazohemi tek përkufizimi i nënbashkësisë. Le të jetë  x\epsilon A i çfardoshëm. Nga kushti meqë A është nënbashkësi e B sjell që x\epsilon B.  Njëlloj  meqë B është nënbashkësi e C atëherë x\epsilon C. Pra çdo element e A bën pjesë në C dmth A\subset C