Shprehjet me ndryshore. Ushtrime plotësuese për thellim. (Mat Avancuar) Udhëzime dhe Zgjidhje.1

Ushtrim 1

Vërtetoni që për çdo numër natyror:

a)Vlera e shprehjes (n+4)(n-1)-(n+8)(n-5) nuk varet nga n.

b)Vlera e shprehjes (n+3)(n+2)-n(n-1) është shumëfish i 6.

c)Vlera e shprehjes (n-6)(n+8)-2(n-25) është pozitive.

a)Pas shndërrimeve të njëvlershme të shprehjes duhet që përfundimi të jetë numër.

b)Pas shndërrimeve të njëvlershme përfundimi duhet të dalë 6 herë një shprehje tjetër. Pra duhet të tentohet të faktorizohet numri 6.

c)(n-6)(n+8)-2(n-25)=n^{2}+8n-6n-48-2n+50=n^{2}+2> 0  sepse n^{2}\geq 0\Rightarrow n^{2}+2\geq 0+2> 0

Ushtrim 2

Gjeni polinomin M që të ketë vend identiteti: M+(5x^{2}-2xy)=6x^{2}+9xy-y^{2} . Kujtojmë kur dy polinome janë të barabarta. Polinomi M do të ketë trajtën:  ax^{2}+bxy+cy^{2}.  Atëherë shkruajmë  ax^{2}+bxy+cy^{2}+5x^{2}-2xy=6x^{2}+9xy-y^{2}\Leftrightarrow (a+5)x^{2}+(b-2)xy+cy^{2}=6x^{2}+9xy-y^{2} …..etj.

Ushtrim 3

A mund ta gjeni vlerën e shprehjes: (7a^{3}-6a^{2}b+5ab^{2})+(5a^{3}+7a^{2}b+3ab^{2})-(10a^{3}+a^{2}b+8ab^{2}) duke ditur vetëm vlerën e ndryshores a=-0,25.

Shndërrojmë shprehjen dhe shohim që ajo varet vetëm nga a-ja, prandaj përgjigja është pozitive.

Ushtrim 4

Aka vlera të x-it për të cilat vlera e polinomit a) 2x2+6x+3 është numër çift, b) x2+x+2 është numër tek.

Kujtojmë shuma e dy numrave tek ose çift është çift, dhe shuma e një numri tek me një numër çift është numër tek. (mund ta vërtetoni). 2x^{2}+6x+3=2(x^{2}+3x)+3 . Për çdo numër x që të marrim 2(x^{2}+3x) është çift, numri  3 tek kjo sjell që vlera e polinomit tonë është gjithmonë tek…..etj. Njëlloj mund të arsyetojmë për b)

Ushtrim 5

Vërtetoni që nëse ab+c2=0, atëherë (a+c)(b+c)+(a-c)(b-c)=0. 

Nxjerrim c2=ab dhe e zëvendësojmë tek ana e majtë e barazimit pasi të kemi kryer shndërrimin e saj.