Progresioni Aritmetik, Gjeometrik

Përkufizimet

Progresion aritmetik është vargu në të cilin NDRYSHESA e çdprogresiono kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR)

Progresion gjeometrik është vargu në të cilin RAPORTI i çdo kufize (duke filluar nga e dyta) me kufizën paraardhëse është konstante (NUMËR). Kuptohet se kufizat në këtë rast janë të ndryshme nga zero.

Kryesoret që duhet të dihen

Për të provuar nëse një varg është progresion aritmetik ose gjeometrik duhet të vlerësohet  DIFERENCA y_{n}-y_{n-1},  ose RAPORTI  \frac{y_{n}}{y_{n-1}} ,

Shembull: Jepet vargu y_{n}=5\cdot 3^{n+1} .  

y_{n}-y_{n-1}=5\cdot 3^{n+1}-5\cdot 3^{(n+1)-1}=5\cdot (3^{n+1}-3^{n})=5\cdot (3^{n}\cdot 3^{1}-3^{n})=5\cdot 3^{n}\cdot (3-1)=10\cdot 3^{n} .  Nuk është progresion aritmetik sepse për vlera të ndryshme të n DIFERENCA merr vlera të ndryshme, pra nuk është konstante.

\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{5\cdot 3^{n+1}}{5\cdot 3^{n}}=3^{n+1-n}=3=q . Është progresion gjeometrik sepse sido që të jetë n-ja RAPORTI është i barabartë me 3 , KONSTANT.

Për të treguar se nuk është progresion mund të veprohet edhe duke marrë dhe vlerësuar dy diferenca(raporte). Tek shembulli më sipër  y1=45, y2=175, y3=405.   y3-y2=230 ndërsa y2-y1=130

Formulat

Për progresionin Aritmetik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}+(n-1)d\\ S_{n}=\frac{y_{1}+y_{n}}{2}\cdot n \end{matrix}\right.

Për progresionin Gjeometrik

\left\{\begin{matrix} y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\\ S_{n}=y_{1}\cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \end{matrix}\right.

Sn-shuma e n kufizave të para të progresionit. yn-kufiza e n-të e progresionit. y1-kufiza e parë. d-ndryshesa. q-herësi.

Për progresionet mund të arsyetojmë se kur janë rritëse ose zvogluese. (metoda tek vargjet)

Vargu konstant është edhe progresion aritmetik edhe gjeometrik. Pse?