Elipsi

Njohuritë kryesore për Elipsin

Elips quhet bashkesia e pikave te planit, shuma e largesave te te cilave nga dy pika te dhena te planit (te cilat quhen vatra) eshte madhesi konstante.   MF1+MF2=2a.

elipsiEkuacioni me i thjeshte: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 

a-gjysemboshti i madh  b-gjysemboshti i vogel

AA1=2a boshti i madh i elipsit\frac{MD}{MF_{1}}=\frac{MD_{1}}{MF_{2}}=e\frac{MD}{MF_{1}}=\frac{MD_{1}}{MF_{2}}=e

BB1=2b boshti i vogel i elipsit

F1F2=2c largesa vatrore

MF1=r1 dhe MF2=r2 quhen rreze vatrore te elipsit ku M(x;y)  pike e çfardoshme e tij. Lidhja ndermjet a, b dhe c. a^{2}=b^{2}+c^{2}.  Numri e=\frac{c}{a}  quhet jashteqendersi e elipsit dhe tregon shtypjen e tij.  0\leq e< 1 Kur e=0 kemi rrethin x^{2}+y^{2}=a^{2}  , Sa me e madhe te jete jashteqendersia aq me i shtypur do te jete elipsi.

M\left ( x;y \right )  pike e elipsit rrezet vatrore jepen me formulat:  \left\{\begin{matrix} r_{1}=a+ex\\ r_{2}=a-ex \end{matrix}\right. 

Drejtezat x=\pm \frac{a}{e}    ose  x=\pm \frac{a^{2}}{c}  quhen vija drejtuese te elipsit.

Raporti i largeses se çdo pike M te konikes nga vatra me largesen nga vija drejtuese perkatese eshte kostant i barabarte me jashteqendersine .    \frac{MD}{MF_{1}}=\frac{MD_{1}}{MF_{2}}=e

Ne varesi te zgjidhjeve te sistemit: \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ y=kx+t \end{matrix}\right.  percaktojme nese drejteza dhe elipsi kane 2 pika te perbashketa (priten), kane nje pike te perbashket (jane tangjente) ose nuk kane asnje pike te perbashket.

Kushti i tangjences

Qe drejteza y=kx+t tejete tangjent me elipsin   \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1  duhet dhe mjafton qe a^{2}\cdot k^{2}+b^{2}=t^{2}, ose kur drejteza jepet me ekuacion te pergjithshem Ax+By+C=0 kushti eshte  A^{2}a^{2}+B^{2}b^{2}=C^{2}.

Ekuacioni i tangjentes \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1  ku x_{1}  dhe y_{1} jane kordinatat e nje pike te çfardoshme M te elipsit.

Shembull.

Per elipsin  \frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{36}=1  kemi: a^{2}=64\Rightarrow a=8b^{2}=36\Rightarrow b=6.

Boshti i madh 2a=16  boshti i vogel 2b=12 , c^{2}=a^{2}-b^{2}=64-36=28\Rightarrow c=\sqrt{28}=2\sqrt{7} 

Largesa vatrore  2c=4\sqrt{7}.

Jashteqendersia  e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4} 

Ekuacionet e vijave drejtuese   x=\pm \frac{a^{2}}{c}=\pm \frac{64}{2\sqrt{7}}=\pm \frac{32}{\sqrt{7}}

Largesa ndermjet vijave drejtuese  2\cdot \frac{a^{2}}{c}=2\cdot \frac{64}{2\sqrt{7}}=\frac{64\sqrt{7}}{7}

Pika M(4;2\sqrt{6})  eshte pike e elipsit . Ekuacioni i tangjentes ne kete pike eshte: \frac{4x}{64}+\frac{2\sqrt{6}y}{32}=1\Leftrightarrow \frac{x}{16}+\frac{\sqrt{6}y}{16}=1\Leftrightarrow x+\sqrt{6}y-16=0

Rrezet vatrore te kesaj pike jane:

r_{1}=a+ex=8+\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot 4=8+\sqrt{7}             r_{2}=a-ex=8-\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot 4=8-\sqrt{7}

Ushtrime  PDF