Hiperbola

Njohuritë kryesore për Hiperbolën

Hiperbolë quhet bashkesia e pikave te planit, ndryshesa e largesave te te cilave nga dy pika te dhena te planit (te cilat quhen vatra) eshte madhesi konstante.   MF1-MF2=2a.   a<c

hiperbolaEkuacioni me i thjeshte: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 

a-gjysemboshti real  b-gjysemboshti imagjinar

AA1=2a boshti real i hiperbolës

BB1=2b boshti imagjinar

F1F2=2c largesa vatrore

MF1=r1 dhe MF2=r2 quhen rreze vatrore te elipsit ku M(x;y)  pike e çfardoshme e tij. Lidhja ndermjet a, b dhe c. c^{2}=a^{2}+b^{2}.   e=\frac{c}{a}  , meqenese  c>a  atehere kemi  e>1.

M\left ( x;y \right )  pike e hiperbolës  rrezet vatrore jepen me formulat: \left\{\begin{matrix} r_{1}=ex+a\\ r_{2}=ex-a\end{matrix}\right.

Drejtezat x=\pm \frac{a}{e}    ose  x=\pm \frac{a^{2}}{c}  quhen vija drejtuese te hiperbolës. Ndersa drejtezat y=\pm \frac{b}{a}x jane asimptota te saj.

Raporti i largeses se çdo pike M te konikes nga vatra me largesen nga vija drejtuese perkatese eshte kostant i barabarte me jashteqendersine .    \frac{MD}{MF_{1}}=\frac{MD_{1}}{MF_{2}}=e

Ne varesi te zgjidhjeve te sistemit: \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\ y=kx+t\end{matrix}\right.  percaktojme nese drejteza dhe hiperbola kane 2 pika te perbashketa (priten), kane nje pike te perbashket (jane tangjente) ose nuk kane asnje pike te perbashket.

Kushti i tangjences

Qe drejteza y=kx+t tejete tangjent me hiperbolën  \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\\     duhet dhe mjafton qe a^{2}k^{2}-b^{2}=t^{2}, ose kur drejteza jepet me ekuacion te pergjithshem Ax+By+C=0  kushti eshte  a^{2}A^{2}-b^{2}B^{2}=C^{2}.

Ekuacioni i tangjentes \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1  ku x_{1}  dhe y_{1} jane kordinatat e nje pike te çfardoshme M te hiperbolës.

Shembull.

Per elipsin  \frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{36}=1  kemi: a^{2}=64\Rightarrow a=8b^{2}=36\Rightarrow b=6.

Boshti real 2a=16  boshti imagjinar 2b=12 ,   c^{2}=a^{2}+b^{2}=64+36=100\Rightarrow c=10 .

Largesa vatrore  2c=20.

Jashteqendersia  e=\frac{c}{a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}

Ekuacionet e vijave drejtuese   x=\pm \frac{a^{2}}{c}, x=\pm \frac{64}{10}   ose x=\pm \frac{32}{5}

Largesa ndermjet vijave drejtuese  2\cdot \frac{a^{2}}{c}=\frac{64}{5}  

Ekuacionet e asimptotave  y=\pm \frac{3}{4}x

Pika \left ( \frac{40}{3};8 \right )  eshte pike e hiperbolës . Ekuacioni i tangjentes ne kete pike eshte: \frac{x\cdot \frac{40}{3}}{64}-\frac{y\cdot 8}{36}=1   ose pas shnderrimit 15x-16y-72=0

Rrezet vatrore te kesaj pike jane:

r_{1}=ex+a=\frac{5}{4}\cdot \frac{40}{3}+8=\frac{50}{3}+8=\frac{74}{3}             r_{2}=ex+a=\frac{5}{4}\cdot \frac{40}{3}-8=\frac{50}{3}-8=\frac{26}{3}