Derivati. Kuptimi i Derivatit

tanxhentja** Nëse funksioni f:y=f(x) është i përcaktuar në një interval I dhe pika a pikë e këtij intervali atëherë me përkufizim derivat i funksionit në x=a quhet \lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  nëse ekziston. Shënohet    f'(a)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  ose  \frac{df(a)}{dx}.  Në shumë raste është më e përshtatshme njehsimi me me anë të: \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a) .

Në praktikë:

Pika materiale kryen levizje drejtevizore sipas ligjit S=S(t).  Në çastin 2s ajo ndodhet në pikën A dhe në çastin (2+Δt)s ndodhet në pikën B. Zhvendosja AB do të jetë  AB=S(2+Δt)-S(2).   Shpejtësia mesatare gjatë kësaj zhvendosje do të jetë \frac{AB}{\triangle t}=\frac{S(2+\triangle t)-S(2)}{\triangle t} Sa më e vogël që të jetë Δt aq më mirë shpejtësia mesatare i afrohet shpejtësisë në çastin 2s (në pikën A). Rrjedhimisht shpejtësia e çastit 2s do të jetë e barabartë me limitin e këtij raporti, pra me derivatin e funksionit S(t) në pikën t=2  me S'(2).

Le të jetë f një funksion i përcaktuar në një interval I dhe a, a+Δx dy numra nga ky interval. Shprehja v(a)=\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}  për a të fiksuar varet nga Δx dhe jep shpejtësinë mesatare të ndryshimit të vlerave të funksionit kur x kalon nga a në a+Δx. Limit i shpejtësisë mesatare kur Δx shkon në 0  jep derivatin e funksionit në pikën a (shpejtësinë e çastit). Derivati i funksionit në pikën x=a është shpejtësia e çastit e ndryshimit të vlerave të funksionit në këtë pikë.

Nëse zhvillimi i një procesi jepet me anë të një funksioni, shpejtësia e çastit e zhvillimit të procesit jepet si derivat i funksionit në këtë pikë (çast).