Konsultimet Mat avancuar 18 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

19.11.Jepet rrethi me qender origjinen e kordinatave dhe me rreze 1 njesi. Gjeni bashkesine e pikave te planit nga te cilat ky rreth shihet ne kend te drejte.

zgjidhje

Ekuacioni i rrethit eshte x^{2}+y^{2}=1.  Le te jete M(x;y) pike e çfardoshme e  vendit gjeometrik te kerkuar.  Kendi BMA i drejte, nga ana tjeter MA=MB (tangjentet ndaj rrethit te hequra nga nje pike jashte tij jane te barabarta),  OA=OB=1   si rreze te rrethit. Katerkendeshi OAMB eshte katror.  OM^{2}=OA^{2}+AM^{2}=1+1=2  . Nga ana tjeter ne kordinata OM^{2}=x^{2}+y^{2}.   Kjo do te thote se kordinatat e pikes M plotesojne kushtin x^{2}+y^{2}=2  pra bashkesia e pikave te kerkuara eshte rrethi me qender O dhe rreze  \sqrt{2}.

2.Jane dhene pikat A(1;2) dhe B(3;4). Shkruani ekuacionet e dy drejtezave qe kalojne nga origjina e kordinatave dhe jane te baraslarguara nga pikat A dhe B.

Zgjidhje

19.2Menyra e pare: Drejteza kalon nga origjina prandaj ekuacioni i saj ka formen y=ax\Rightarrow ax-y=0. Shprehim largesat e pikave A dhe B nga drejteza.d_{A}=\frac{\left | a-2 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}  ndersa d_{B}=\frac{\left | 3a-4 \right |}{\sqrt{a^{2}+1}}  . Dy largesat jane te barabarta  duke kryer shnderrimet marrim \left | 3a-4 \right |=\left | a-2|\Rightarrow 3a-4=\pm \left ( a-2 \right )   nga ku gjejme  a=1  ose  a=\frac{3}{2}.  Ekuacionet e drejtezave jane  y=x   dhe  y=\frac{3}{2}x.

Menyra e dyte: Njera drejtez do te jete paralel me (AB), drejteza tjeter do te kaloje nga pika M mesi i [AB].  Kuptohet te dyja kalojne ne origjine te kordinatave. Shiko figuren dhe kryej veprimet.

3. Gjeni shumen i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+.....+i^{2008}.  (i njesia imagjinare i=\sqrt{-1} )

zgjidhje

i^{4k}=1, i^{4k+1}=i, i^{4k+2}=-1, i^{4k+3}=-i.    Shkruajme vargun ndryshe:  \left ( i+i^{3}+i^{5}+....i^{2005}+i^{2007} \right )+\left ( i^{2}+i^{4}+i^{6}+....i^{2006}+i^{2008} \right )=\left ( i-i+i-i+...+i-i \right )+\left ( 1-1+1-1+....+1-1 \right )=0       i^{2008}=i^{4\cdot 502}=1

4.Vlerat e nje tipari statistikor  jane x_{1},x_{2},x_{3}, ...,x_{k} ndersa efektivat perkatese jane  n_{1},n_{2},n_{3}, ...,n_{k}.  Nese m eshte mesatarja aritmetike e kesaj shperndarje  tregono qe n_{1}(x_{1}-m)+n_{2}(x_{2}-m)+n_{3}(x_{3}-m)+...+n_{k}(x_{k}-m)=0  . 

Shprehim mesataren m=\frac{x_{1}\cdot n_{1}+x_{2}\cdot n_{2}+x_{3}\cdot n_{3}+...+x_{k}\cdot n_{k}}{n_{1}+n_{2}+n_{3}+...+n_{k}}.  Shumzojme m me emruesin , i kalojme te gjitha kufizat ne njeren ane dhe i grupojme  ……..etj.