Konsultimet Mat avancuar 20 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

ura111.Jepet trekendeshi me kulme A(2;1;1), B(3;-2;2) dhe C(0;3;-1). Te gjendet gjatesia e mesores BM.

zgjidhje

Gjejme kordinatat e pikes M mesi i AC.  x_{M}=\frac{x_{A}+x_{C}}{2}=\frac{2+0}{2}=1,   y_{M}=\frac{y_{A}+y_{C}}{2}=\frac{1+3}{2}=2z_{M}=\frac{z_{A}+z_{C}}{2}=\frac{1+(-1)}{2}=0  .  M(1;2;0).   Gjejme vektorin \overrightarrow{BM}=\left ( \begin{matrix} 1-3\\ 2+2\\ 0-2\end{matrix} \right )=\left ( \begin{matrix} -2\\ 4\\ -2\end{matrix} \right )  , gjejme gjatesine e tij.  \left | \overrightarrow{BM} \right |=\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}  .

2.Jepen vektoret  \vec{u} dhe \vec{v} , te tille qe \left | \vec{u}-\vec{v} \right |^{2}=\left | \vec{u} \right |^{2}+\left | \vec{v} \right |^{2}  . Te vertetohet se keta vektore jane pingule.

zgjidhje

\left | \vec{u}-\vec{v} \right |^{2}={\left ( \vec{u}-\vec{v} \right )^{2}}={\vec{u}^{2}-2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}}    sjell {\vec{u}^{2}-2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}+\vec{v}^{2}}=\vec{u}^{2}+\vec{v}^{2}   katrori numerik i vektorit eshte i barabarte me katrorin e gjatesise se tij.  Prandaj kemi  -2\cdot \vec{u}\cdot \vec{v}=0\Rightarrow \vec{u}\cdot \vec{v}=0\Rightarrow \vec{u}\perp \vec{v} 

3.Jepet \left | \vec{a} \right |=2  , \left | \vec{b} \right |=5  dhe  \vec{a}\cdot \vec{b}=-5  . Gjeni   \left |\vec{a}X \vec{b} \right |   (gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre)

zgjidhje

2\cdot 5\cdot cos\alpha =-5\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{2}\Rightarrow sin\alpha =\sqrt{1-\left ( -\frac{1}{2} \right )^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}      atehere  \left | \vec{a}X\vec{b} \right |=2\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}

4.Te gjendet siperfaqja e trekendeshi me kulme  A(3;4;-1), B(2;0;3)  dhe C(-3;5;4)

zgjidhje

**Siperfaqja e paralelogramit te ndertuar mbi dy vektore eshte e barabarte me gjatesine e vektorit prodhim vektorial te tyre.  VO Nese vektoret jane bashkevijore nuk formohet paralelogram ne kete rast prodhimi vektorial eshte i barabarte me vektorin zero. Ndryshe KNM qe dy vektore te jene bashkevijore eshte qe prodhimi vektorial i tyre te jete vektori zero.

Ne rastin tone siperfaqja e trekendeshitdo te jete gjysma e siperfaqes se paralelogramit. Gjejme vektoret \overrightarrow{AB}=\left ( \begin{matrix} -1\\ -4\\ 4\end{matrix} \right )  \overrightarrow{AC}=\left ( \begin{matrix} -6\\ 1\\ 5\end{matrix} \right ) 

**Prodhimi vektorial i dy vektoreve kur jane dhene kordinatat e tyre gjendet duke llogaritur percaktorin ne te cilin ne shtyllen e pare vendosen vektoret njesi ndersa ne dy shtyllat tjera perkatesisht kordinatat e dy vektoreve.

\overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC} =\left | \begin{matrix} \vec{i} & -1 & -6\\ \vec{j}& -4 & 1\\ \vec{k}& 4 & 5 \end{matrix} \right |=-20\vec{i}-24\vec{j}-\vec{k}-24\vec{k}+5\vec{j}-4\vec{i}=-24\vec{i}-19\vec{j}-25\vec{k}  

S=\frac{1}{2}\left | \overrightarrow{AB}X\overrightarrow{AC} \right |=\frac{1}{2}\sqrt{(-24)^{2}+(-19)^{2}+(-25)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{1562}