Konsultimet Mat avancuar 20/1 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

linuxmint1**Numri \left ( \vec{a}X\vec{b} \right )\cdot \vec{c}   quhet prodhim i perzier i tre vektoreve.

**Kur vektoret jepen ne kordinata prodhimi i perzier gjendet duke llogaritur percaktorin qe ka per shtylla kordinatat e tre vektoreve.

**Vlera absolute e prodhimit te perzier te tre vektoreve eshte e barabarte me vellimin e paralelopipedit te ndertuar mbi keta vektore. 

**VO Nese vektoret jane ne te njejtin plan atehere nuk formohet paralelopiped, prandaj prodhimi do te jete zero.

**KNM Qe tre vektore te jene bashkeplanare eshte qe prodhimi i perzier i tyre te jete zero.

1.Te gjendet vellimi i piramides me kulme  A(2;1;-2), B(3;3;3), C(1;1;2) dhe D(-1;-2;-3)

zgjidhje

Vellimi i piramides do te jete sa 1/6 e vellimit te paralelopipedit te ndertuar mbi vektoret AB, AC, AD.

\overrightarrow{AB}=\left ( \begin{matrix} 1\\ 2\\ 5\end{matrix} \right )     \overrightarrow{AC}=\left ( \begin{matrix} -1\\ 0\\ 4\end{matrix} \right )    \overrightarrow{AD}=\left ( \begin{matrix} -3\\ -3\\ -1\end{matrix} \right )   Llogaritim prodhimin e perzier (percaktorin)  

2.\left | \begin{matrix} 1 & -1 &-3 \\ 2& 0 & -3\\ 5& 4 & -1 \end{matrix} \right |=0+15-24+0-2+12=1\Rightarrow V=\frac{1}{6} 

2.Jepen vektoret \vec{a}=\left ( \begin{matrix} -1\\ 1\\ 2 \end{matrix} \right )  dhe  \vec{b}=\left ( \begin{matrix} 0\\ 1\\ 3 \end{matrix} \right )  . Te gjenden kordinatat e vektorit \vec{c}  i cili eshte pingul me dy vektoret dhe ka gjatesine \left |\vec{c} \right |=2\sqrt{11}

udhezim

Vektori i kerkuar do te jete bashkevijor me vektorin prodhim vektorial te dy vektoreve \vec{a}  dhe \vec{b} , gjejme kordinatat m,n,p te prodhimit vektorial. Vektori \vec{c} do te kete kordinatat mx,ny,pz shfrytezojme gjatesine  dhe gjejme k. 2\sqrt{11}=\sqrt{(km)^{2}+(kn)^{2}+(kp)^{2}} .

3.Te shkruhet ekuacioni i planit ne te cilin pika M(3;-1;0) eshte projeksion i pikes N(4;2;-2) ne kete plan.

zgjidhje

**Ekuacioni ax+by+cz+d=0 eshte ekuacioni i pergjithshem i planit. Vektori \vec{n}=\left ( \begin{matrix} a\\ b\\ c \end{matrix} \right )  eshte vektori pingul i planit. Prandaj per te gjetur ekuacionin e nje plani na duhet nje vektor pingul dhe nje pike e planit.

Ne rastin konkret pika M eshte pike e planit ndersa vektori MN eshte vektor pingul me planin.  \overrightarrow{MN}=\left ( \begin{matrix} 1\\ 3\\ -2 \end{matrix} \right )  Ekuacioni i planit ka trajten x+3y-2z+d=0. Pika M eshte pike e planit prandaj kordinatat e saj vertetojne ekuacionin.  3+3\cdot (-1)-2\cdot 0+d=0\Rightarrow d=0  Ekuacioni eshte x+3y-2z=0

4.Te shkruhet ekuacioni i planit   2x-3y+4z-12=0  ne segmente.

zgjidhje

** ( \frac{x}{m}+\frac{y}{n}+\frac{z}{p}=1  eshte ekuacioni i planit ne segmente. m,n,p tregojne kordinatat respektive te prerjes se tij me boshtet kordinative)

Shnderrojme ekuacionin 2x-3y+4z=12\Leftrightarrow \frac{2x}{12}+\frac{3y}{-12}+\frac{4z}{12}=1\Leftrightarrow \frac{x}{6}+\frac{y}{-4}+\frac{z}{3}=1 .Pkat e prerjes me boshtet kordinative kane kordinata: (6;0;0), (0;-4;0),(003).