Konsultimet Mat avancuar Funksioni joperiodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

sinusx21.Tregoni se funksionet e meposhtme nuk jane periodike. a)y=cos(x)^{2}   b)y=sin\sqrt{x}     c)y=sin\left | x \right | 

zgjidhje

Le te jete T numri me i vogel qe ploteson kushtin f(x+T)=f(x)  atehere per funksionin e pare kemi: cos(x+T)^{2}=cos(x)^{2}\Rightarrow (x+T)^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow x^{2}+2Tx+T^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow T^{2}+2Tx-2\pi =0   

Do te thote se ekzistenca dhe vlera  e T varet nga x, per vlera te ndryshme te x T merr vlera te ndryshme, pra funksioni nuk mund te jete periodik sepse nuk ekziston asnje T qe ploteson perkufizimin.

Arsyetimi eshte njelloj edhe per rastet tjera vetem ndryshojne veprimet.

b)sin\sqrt{x+T}=sin\sqrt{x}\Rightarrow \sqrt{x+T}-\sqrt{x}=2\pi \Rightarrow \sqrt{x+T}=\sqrt{x}+2\pi \Rightarrow x+T=x+4\pi^{2} +4\pi \sqrt{x}\Rightarrow T=4\pi ^{2}+4\pi \sqrt{x}

c)sin\left | x+T \right |=sin\left | x \right |\Rightarrow \left | x+T \right |-\left | x \right |=2\pi .  per  x<0 dhe \left |x \right |<T  kemi x+T+x=2\pi \Rightarrow T=2\pi -2x  .  Nuk ploteson perkufizimin

Ne postimin tjeter funksioni injektiv, syrjektiv, bijektiv. Funksioni i anasjellte