Ushtrim për integralin e pacaktuar të (e) në fuqi (ax) shumzuar me cosx ose sinx

Le të jetë a numër real jo zero

a)Gjeni derivatin e funksionit f: y=e^{ax}\left ( Acosx+Bsinx \right )  ku A dhe B janë dy konstante reale

b)Nxirrni prej këtej primitivat e funksioneve  g: y=e^{ax}cosx  dhe h:y=e^{ax}sinx.

Zgjidhje

a)\left [ e^{ax}(Acosx+Bsinx) \right ]'=ae^{ax}(Acosx+Bsinx)+e^{ax}(-Asinx+Bcosx)=e^{ax}(Aacosx+aBsinx-Asinx+Bcosx)=e^{ax}(aA+B)cosx+e^{ax}(aB-A)sinx.

b)\int \left [e^{ax}(aA+B)cosx+e^{ax}(aB-A)sin \right ]dx=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx+C

barazimi i njëvlershem me:

\left ( aA+B \right )\int e^{ax}cosxdx+(aB-A)\int e^{ax}sinxdx=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx 

ose

\left ( aA+B \right )I_{1}+(aB-A)I_{2}=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx

ose A(aI_{1}-I_{2})+B(I_{1}+aI_{2})=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx

nga ku

\left\{\begin{matrix} aI_{1}-I_{2}=e^{ax}cosx\\I_{1}+aI_{2}=e^{ax}sinx \end{matrix}\right.  

shumzojmë ekuacionin e parë me a dhe i mbledhim.

\left\{\begin{matrix} a^{2}I_{1}-aI_{2}=ae^{ax}cosx\\I_{1}+aI_{2}=e^{ax}sinx \end{matrix}\right..   (a^{2}+1)I_{1}=e^{ax}\left ( acosx+sinx \right )  

nga ku

I_{1}=\int e^{ax}cosxdx=\frac{e^{ax}(acosx+sinx)}{a^{2}+1}+c.

Njelloj shumzojmë ekuacionin e dytë me a dhe i zbresim për të gjetur I_{2}.