Kuptimi i Bashkësisë është kuptim themelor i Matematikës. Kuptimet themelore janë ato kuptime të cilat nuk përkufizohen, si numri, pika, drejtëza, plani , bashkësia.
Me Bashkësi kuptojmë një grumbull elementesh ku, për çdo element të shqyrtuar mund të themi në mënyrë të prerë se ndodhet apo nuk ndoshet në këtë Bashkësi. Shënohen me shkronjat e mëdhaja të alfabetit A, B, .
Me marveshje Bashkësia që nuk ka asnjë element quhet bashkësi Boshe dhe shënohet Φ (fi).
Elementet e Bashkësisë mund të tregohen një për një (kur bashkësia është e fundme), ose me ndihmën e një shkronje të vetme e cila përshkruan Bashkësinë dhe quhet ndryshore e saj. Kjo shkronjë mund ti vihet sejcilit prej elementeve të Bashkësisë A. Sejcili prej elementeve të A-së quhet vlerë e ndryshores. Në këtë rast Bashkësia jepet me përshkrim. (edhe për të fundmet edhe të pafundmet). Kur Bashkësia jepet me përshkrim vetia e elementeve jepet me anë të një fjalie matematikore që përmban ndryshore. Në këtë rast jepet edhe një bashkësi më e gjerë që quhet mjedis dhe është bashkësia e vlerave të mundshme të ndryshores x. Bashkësia në këtë rast përbëhet nga ato vlera për të cilat fjalia është e vërtetë.
Shembull: Shqyrtojmë në N fjalinë “x plotëpjestohet me 3”. Kjo fjali është e vërtetë për x=3, x=6, x=9 etj, por ka edhe numra për të cilët fjalia nuk është e vërtetë. Bashkësia e elementeve të N për të cilat fjalia është e vërtetë formon një bashkësi të re, e cila jepet me përshkrim : lexohet “x-et nga N të tilla që plotëpjestohen me 3”. Mjedisi është N ndërsa vetia karakteristike “numrat që plotëpjestohen me 3”
Bashkësia A është e barabartë me B nëse ço element i A i përket edhe B dhe anasjelltas, çdo element i B i përket edhe A.
Vetitë e Barazimit të bashkësive
- Pasqyrimit A=A
- Simetrisë A=B sjell B=A
- Kalimit A=B dhe B=C sjell A=C
Bashkësia B quhet nënbashkësi e A nëse çdo element i B i përket bashkësisë A. Në këtë rast thuhet “B përfshihet në A” dhe shënohet çdo element i B i përket bashkësisë A. Shenja
është shenja e përfshirjes.
Për të treguar se B nuk është nënbashkësi e A, mjafton të vërtetojmë se ekziston të paktën një element i B që nuk i përket A.
Vetitë e përfshirjes:
- Vetia e pasqyrimit
e vërtetë.
- Vetia e simetrisë
nuk është e vërtetë
- Vetia e kalimit
e vërtetë
Për të provuar se bazohemi tek përkufizimi i nënbashkësisë. Le të jetë
i çfardoshëm. Nga kushti meqë A është nënbashkësi e B sjell që
. Njëlloj meqë B është nënbashkësi e C atëherë
. Pra çdo element e A bën pjesë në C dmth
Leave a Reply