Ekuacionet trinom. Ushtrime.

Ekuacionet e formës ax²ⁿ+bxⁿ+c=0 quhen ekuacione trinom. Ato zgjidhen duke zëvendësuar xⁿ=t dhe zgjidhur ekuacionin at²+bt+c=0. Në fund kthehemi tek zëvendësimi. Kur n=2 kemi ekuacon bikuadrat.

Shembull:

x¹⁰-31x⁵-32=0. zëvendësojmë x⁵=t. marrim t²-31t-32=0.Gjejmë dallorin pastaj me anë të formulës gjejmë t₁=-1 dhe t₂=32. Zëvendësojmë x⁵=-1 nga ku x=-1 dhe x⁵=32 nga ku x=2. Bashkësia e zgjidhjeve të ekuacionit është A={-1;2}.

Ushtrim

Zgjidhni ekuacionet:

a) $(x^{2}-x)^{2}=4$ . Zëvendësojmë $x^{2}-x=t$ nga ku $t^{2}=4\Rightarrow t=2\vee t=-2$ . Shkojmë tek zëvendësimi dhe marrim dy ekuacione: $x^{2}-x=2\Leftrightarrow x^{2}-x-2=0$ dhe $x^{2}-x=-2\Leftrightarrow x^{2}-x+2=0$ . I zgjidhim duke gjetur dallorin dhe gjejmë rrënjët: -1 dhe 2 për të parin ndërsa i dyti nuk ka zgjidhje sepse dallori është negativ. Bashkësia e zgjidhjeve A={-1;2}

b) $(x^{2}+2x)^{2}-14(x^{2}+2x)-15=0$ . Zëvendësojmë $x^{2}+2x=t$ marrim ekuacionin $t^{2}-14t-15=0$ dhe veprojmë si tek shembulli më sipër.

c) $4\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{4}-5\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+1=0$ . Fillimisht përcaktojmë mjedisin e ekuacionit (vlerat e lejuara të ndryshores x) që është R^*. Zëvendësojmë $\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}=t$ dhe kemi $4t^{2}-5t+1=0$ nga ku $t_{1}=\frac{1}{4}$ dhe $t_{2}=1$ . Shkojmë tek zëvendësimi: $\left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=\frac{1}{4}\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm \frac{1}{2}$ ose $\left (x+\frac{1}{x} \right )^{2}=1\Rightarrow x+\frac{1}{x}=\pm 1$ . Zgjidhim 4 ekuacionet: