Ushtrime. Progresioni gjeometrik. Formula për kufizën e n-të.

Ushtrim 1

Shkruani formulën e kufizës së n-të për progresionin gjeometrik sinα, 3sinα, ……

$y_{1}=sin\alpha ,q=\frac{3sin\alpha }{sin\alpha }=3\Rightarrow y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}=sin\alpha \cdot 3^{n-1}$

Ushtrim 2

Në progresionin gjeometrik me 5 kufiza, kufiza e fundit është $\frac{16}{27}$ . Gjeni kufizën e parë nëse herësi është $-\frac{2}{3}$ .

$q=-\frac{2}{3},y_{5}=\frac{16}{27}$ . $y_{5}=y_{1}\cdot q^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \left ( -\frac{2}{3} \right )^{4}\Rightarrow \frac{16}{27}=y_{1}\cdot \frac{16}{81}\Rightarrow y_{1}=3$ .

Ushtrim 3

Gjeni numrin e kufizave të progresionit gjeometrik në të cilin $y_{1}=3,q=\frac{1}{2},y_{n}=\frac{3}{64}$ .

Shkruajmë formulën për kufizën e përgjithshme $y_{n}=y_{1}\cdot q^{n-1}\Rightarrow \frac{3}{64}=3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}\Rightarrow \left ( \frac{1}{2} \right )^{6}=\left ( \frac{1}{2} \right )^{n-1}$ ….etj.

Ushtrim 4

Tregoni nëse vargjet e mëposhtme janë progresione gjeometrike. a) $y_{n}=3\cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^{n},n\epsilon N.$ b) $y_{n}=5\cdot n,n\epsilon N.$ c) $y_{n}=\left ( -2 \right )^{n},n\epsilon N.$

Vlersojmë raportin $\frac{y_{n}}{y_{n-1}}$ , që të jetë progresion gjeometrik ky raport duhet të jetë numër. c) $\frac{y_{n}}{y_{n-1}}=\frac{(-2)^{n}}{(-2)^{n-1}}=(-2)^{n-(n-1)}=-2$ d.m.th është progresion gjeometrik me q=-2.

Ushtrim 5

Në progresionin gjeometrik gjeni y₁ dhe q kur dihet se: $\left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} y_{2}-y_{1}=-4\\ y_{3}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}\cdot q-y_{1}=-4\\ y_{1}\cdot q^{2}-y_{1}=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y_{1}(q-1)=-4\\ y_{1}(q^{2}-1)=8 \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{q^{2}-1}{q-1}=\frac{8}{-4}\Rightarrow q+1=-2\Rightarrow q=-3$ zëvendësojmë tek njëri ekuacion tek hallka e tretë $y_{1}(-3-1)=-4\Rightarrow y_{1}=1$ .