Trigonometri. Ushtrime të zgjidhura dhe udhëzime.

1.Vërtetoni identitetin: $[sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =1$

Shndërrojmë anën e majtë: $[sin(\pi -\alpha )+cos(\pi -\alpha )]^{2}+tg(\frac{\pi }{2}-\alpha )+cotg(\pi -\alpha )+2sin(\frac{\pi }{2} -\alpha )\cdot sin\alpha =[sin\alpha -cos\alpha ]^{2}+cotg\alpha -cotg\alpha +2cos\alpha \cdot sin\alpha =sin^{2}\alpha -2sin\alpha \cdot cos\alpha +cos^{2}\alpha +2sin\alpha \cdot cos\alpha =sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha =1$

2.Për ç’vlerë të këndit α shprehjet e mëposhtme nuk kanë kuptim.

$a)\frac{1}{1-sin\alpha }; b)\frac{cos\alpha }{1-cos\alpha }; c)\frac{2}{tg\alpha -1}$

Do të zgjidhim ekuacionet: $1-sin\alpha =0; 1-cos\alpha =0; tg\alpha -1=0$

3.Në figurë është ndërtuar trekëndëshi këndgjerë ABC dhe lartësia e tij CH. Provoni teoremën e kosinusit edhe në rastin e këndit të gjerë.

$a^{2}=BH^{2}+CH^{2}$ $\frac{CH}{b}=sin(180-\alpha )=sin\alpha \Rightarrow CH=b\cdot sin\alpha$

$\frac{AH}{b}=cos(180-\alpha )=-cos\alpha \Rightarrow AH=-b\cdot cos\alpha$

$a^{2}=(AH+AB)^{2}+CH^{2}=(c-bcos\alpha )^{2}+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}-2bc\cdot cos\alpha +b^{2}cos^{2}\alpha+b^{2}sin^{2}\alpha =c^{2}+b^{2}(sin^{2}\alpha +cos^{2}\alpha )-2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha$

4.Brinjët e trekëndëshit ABC janë AB=10cm, AC=12cm dhe BC=14cm. Gjeni kosinusin e këndit BAC. Gjeni gjatësinë e mesores BM.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos\alpha \Rightarrow 2bc\cdot cos\alpha =b^{2}+c^{2}-a^{2}\Rightarrow cos\alpha= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\frac{144+100-196}{2\cdot 12\cdot 10}=\frac{48}{240}=\frac{1}{5}$