Derivati. Kuptimi i Derivatit

** Nëse funksioni f:y=f(x) është i përcaktuar në një interval I dhe pika a pikë e këtij intervali atëherë me përkufizim derivat i funksionit në x=a quhet

$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}$ nëse ekziston. Shënohet $f'(a)=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}$ ose $\frac{df(a)}{dx}$ . Në shumë raste është më e përshtatshme njehsimi me me anë të: $\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ .

Në praktikë:

Pika materiale kryen levizje drejtevizore sipas ligjit S=S(t). Në çastin 2s ajo ndodhet në pikën A dhe në çastin (2+Δt)s ndodhet në pikën B. Zhvendosja AB do të jetë AB=S(2+Δt)-S(2). Shpejtësia mesatare gjatë kësaj zhvendosje do të jetë $\frac{AB}{\triangle t}=\frac{S(2+\triangle t)-S(2)}{\triangle t}$ Sa më e vogël që të jetë Δt aq më mirë shpejtësia mesatare i afrohet shpejtësisë në çastin 2s (në pikën A). Rrjedhimisht shpejtësia e çastit 2s do të jetë e barabartë me limitin e këtij raporti, pra me derivatin e funksionit S(t) në pikën t=2 me S'(2).

Le të jetë f një funksion i përcaktuar në një interval I dhe a, a+Δx dy numra nga ky interval. Shprehja $v(a)=\frac{f(a+\triangle x)-f(a)}{\triangle x}$ për a të fiksuar varet nga Δx dhe jep shpejtësinë mesatare të ndryshimit të vlerave të funksionit kur x kalon nga a në a+Δx. Limit i shpejtësisë mesatare kur Δx shkon në 0 jep derivatin e funksionit në pikën a (shpejtësinë e çastit). Derivati i funksionit në pikën x=a është shpejtësia e çastit e ndryshimit të vlerave të funksionit në këtë pikë.