Konsultimet Mat avancuar Funksioni joperiodik Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

1.Tregoni se funksionet e meposhtme nuk jane periodike. a) $y=cos(x)^{2}$ b) $y=sin\sqrt{x}$ c) $y=sin\left | x \right |$

zgjidhje

Le te jete T numri me i vogel qe ploteson kushtin $f(x+T)=f(x)$ atehere per funksionin e pare kemi: $cos(x+T)^{2}=cos(x)^{2}\Rightarrow (x+T)^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow x^{2}+2Tx+T^{2}-x^{2}=2\pi \Rightarrow T^{2}+2Tx-2\pi =0$

Do te thote se ekzistenca dhe vlera e T varet nga x, per vlera te ndryshme te x T merr vlera te ndryshme, pra funksioni nuk mund te jete periodik sepse nuk ekziston asnje T qe ploteson perkufizimin.

Arsyetimi eshte njelloj edhe per rastet tjera vetem ndryshojne veprimet.

b) $sin\sqrt{x+T}=sin\sqrt{x}\Rightarrow \sqrt{x+T}-\sqrt{x}=2\pi \Rightarrow \sqrt{x+T}=\sqrt{x}+2\pi \Rightarrow x+T=x+4\pi^{2} +4\pi \sqrt{x}\Rightarrow T=4\pi ^{2}+4\pi \sqrt{x}$