Me metodën e integrimit me pjesë gjeni sipërfaqet e kufizuara nga

By
– Posted on 28/03/2013Posted in: USHTRIME MATEMATIKE

a)vija me ekuacion y=lnx dhe boshti i abshisave për x në [2;4]

b)vija me ekuacion y=(-x-2)ex dhe boshti i abshisave për x në[-2;1]

c)vijat me ekuacione  y=ln2x, y=2lnx  për x në[1;3]

Zgjidhje

Pa ndërtuar grafikun për a) dhe b) mjafton të tregojmë në cilën pjesë grafiku i funksionit është sipër boshtit të x-eve dhe në cilën pjesë është poshtë. Ndërsa tek c) do të krahasohen funksionet për të parë se cili grafik është sipër tjetrit.

a)Për x>1 lnx>0, për x<1 lnx<0 prandaj S=\int_{2}^{4}lnxdx.   Gjejmë një primitivë të lnxu=lnx\Rightarrow du=d(lnx)=\frac{dx}{x} , dv=dx\Rightarrow v=\int dx=x.  atëherë:  \int lnxdx=xlnx-\int \frac{dx}{x}\cdot x=xlnx-x=x(lnx-1).  S=\int_{2}^{4}lnxdx=\left [ x(lnx-1) \right ]|_{2}^{4}=4(ln4-1)-2(ln2-1)=8ln2-4-2ln2+2=6ln2-2       

b)Për x>-2 kemi -x<2 ose -x-2<0 prandaj S=-\int_{-2}^{1}(-x-2)e^{x}dx.  Njehsojmë -\int(-x-2)e^{x}dx=\int (x+2)e^{x}dx.    u=(x+2)\Rightarrow du=dx,  dv=e^{x}dx\Rightarrow v=\int e^{x}dx=e^{x}.  Kemi  \int (x+2)e^{x}dx=(x+2)e^{x}-\int e^{x}dx=(x+2)e^{x}-e^{x}=(x+1)e^{x}

S=(x+1)e^{x}|_{-2}^{1}=2e^{1}-(-1)e^{-2}=2e+\frac{1}{e^{2}}.  

c)ln2x-2lnx=ln2x-lnx^{2}=ln\frac{2x}{x^{2}}=ln\frac{2}{x}  .  ln2x-2lnx=0  për x=1.  Për x>1 në rastin tonëx\epsilon [1;3],  lnx^{2}>ln2x.  Prandaj S=\int_{1}^{3}(lnx^{2}-ln2x)dx=\int_{1}^{3}ln\frac{x}{2}dx=\int_{1}^{3}(lnx-ln2)dx=[xlnx-x-xln2]|_{1}^{3}=3ln3-3-3ln2+1+ln2=3ln3-2ln2-2=ln\frac{27}{4}-2

Related Posts