Metodat e integrimit

Zbatimi i tabelës së integraleve dhe vetive.

Shembull 1

$\int \left ( x^{2}+5x-\frac{1}{x} \right )dx=\int x^{2}dx+\int 5xdx-\int \frac{1}{x}dx=\int x^{2}dx+5\int xdx-\int \frac{dx}{x}=\frac{x^{3}}{3}+5\frac{x^{2}}{2}-ln\left | x \right |+c$ Integrali i shumës së disa funksioneve është i barabartë me shumën e integraleve. Faktori konstant del para shenjës së integralit.

Shembull 2

$\int \frac{x^{3}-1}{x-1}dx=\int \frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1}dx=\int (x^{2}+x+1)dx=\int x^{2}dx+\int xdx+\int dx=\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+x+c$ Kryejme shndërrimet e nevojshme nën shenjën e integralit. (Formula të ndryshme, thjeshtime etj)

Shembull 3

$\int \frac{cos2x}{cosx-sinx}dx=\int \frac{cos^{2}x-sin^{2}x}{cosx-sinx}dx=\int \frac{(cosx-sinx)(cosx+sinx)}{cosx-sinx}dx=\int (cosx+sinx)dx=\int cosxdx+\int sinxdx=sinx-cosx+c$ Formulat kryesore të trigonometrisë.

Shndërrime nën shenjën e diferencialit.

Formulat e tabelës së integraleve ruajnë trajtën edhe kur në vend të ndryshores x vendoset një funksion apo shprehje u=u(x). p.sh $\int \frac{du}{u}=ln\left | u \right |+c$

Shembull 1

$\int (2x+1)^{10}dx=\frac{1}{2}\int (2x+1)^{10}d(2x+1)=\frac{1}{2}\frac{(2x+1)^{11}}{11}+c=\frac{(2x+1)^{11}}{22}+c$ Në rolin e u është 2x+1 dhe $d(2x+1)=2dx\Rightarrow dx=\frac{1}{2}d(2x+1)$ . Duhet të dihet edhe kuptimi i diferencialit $d\left [ f(x) \right ]=f'(x)dx$ .

Shembull 2

$\int \frac{dx}{1+3x}=\frac{1}{3}\int \frac{3dx}{1+3x}=\frac{1}{3}\int \frac{d(1+3x)}{1+3x}=\frac{1}{3}ln\left | 1+3x \right |+c$ Në rolin e u është 1+3x dhe d(1+3x)=3dx

Shembull 3

$\int x(x^{2}+5)dx=\frac{1}{2}\int (x^{2}+5)d(x^{2}+5)=\frac{1}{2}\frac{(x^{2}+5)^{2}}{2}+c=\frac{(x^{2}+5)^{2}}{4}+c$

Shembull 4

$\int e^{5x+1}dx=\frac{1}{5}\int e^{5x+1}d(5x+1)=\frac{1}{5}e^{5x+1}+c$

Shembull 5

$\int \frac{cosx}{\sqrt{5+sinx}}dx=\int \frac{d(5+sinx)}{\sqrt{5+sinx}}=\int (5+sinx)^{\frac{1}{2}}d(5+sinx)=\frac{(5+sinx)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+c=\frac{(5+sinx)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+c=\frac{2}{3}\left ( \sqrt{5+sinx} \right )^{3}+c$