Ushtrim për integralin e pacaktuar të (e) në fuqi (ax) shumzuar me cosx ose sinx

Le të jetë a numër real jo zero

a)Gjeni derivatin e funksionit f: $y=e^{ax}\left ( Acosx+Bsinx \right )$ ku A dhe B janë dy konstante reale

b)Nxirrni prej këtej primitivat e funksioneve g: $y=e^{ax}cosx$ dhe h: $y=e^{ax}sinx$ .

Zgjidhje

a) $\left [ e^{ax}(Acosx+Bsinx) \right ]'=ae^{ax}(Acosx+Bsinx)+e^{ax}(-Asinx+Bcosx)=e^{ax}(Aacosx+aBsinx-Asinx+Bcosx)=e^{ax}(aA+B)cosx+e^{ax}(aB-A)sinx.$

b) $\int \left [e^{ax}(aA+B)cosx+e^{ax}(aB-A)sin \right ]dx=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx+C$

barazimi i njëvlershem me:

$\left ( aA+B \right )\int e^{ax}cosxdx+(aB-A)\int e^{ax}sinxdx=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx$

ose

$\left ( aA+B \right )I_{1}+(aB-A)I_{2}=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx$

ose $A(aI_{1}-I_{2})+B(I_{1}+aI_{2})=Ae^{ax}cosx+Be^{ax}sinx$ .

nga ku

$\left\{\begin{matrix} aI_{1}-I_{2}=e^{ax}cosx\\I_{1}+aI_{2}=e^{ax}sinx \end{matrix}\right.$

shumzojmë ekuacionin e parë me a dhe i mbledhim.

$\left\{\begin{matrix} a^{2}I_{1}-aI_{2}=ae^{ax}cosx\\I_{1}+aI_{2}=e^{ax}sinx \end{matrix}\right.$ . $(a^{2}+1)I_{1}=e^{ax}\left ( acosx+sinx \right )$