Bashkësia Plotësuese (Avancuar)

Bashkësia Plotësuese

plotesiNë figurë bashkësia E është ndarë në dy nënbashkësi joprerëse A dhe B. Sejcila prej tyre quhet plotësuese e tjetrës në lidhje me E.

Pra bashkësia B është plotësi i A në lidhje me E dhe bashkësia A është plotësi i B në lidhje me E.

B=C_{E}A  (lexohet plotësi i A në lidhje me E)   dhe A=C_{E}B

Me përshkrim C_{E}B=\left \{ x\epsilon E|x\notin B \right \}.

Formula për numrin e elementeve të A\cup B  :  n\left (A\cup B \right )=n(A)+n(B)-n(A\cap B)

1.Një klasë ka 31 nxënës. 17 prej tyre luajnë futboll, 24 janë notarë dhe 12 janë notarë që luajnë futboll.

a) Sa nxënës merren me futboll ose not

b) Sa nxënës nuk merren as me futboll as me not

E-bashkësia e nxënësve të klasës  n(E)=31 ;  A-bashkësia e nxënësve që luajnë futboll n(A)=17 ; B-bashkësia e nxënësve që merren me not n(B)=24.

a) n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=17+24-12=29  merren me futboll ose me not.

b) n(E)-n(A\cup B)=31-29=2  nxënës nuk merren me asnjë prej sporteve.

2.A dhe B janë dy bashkësi të fundme jo boshe për të cilat n(A\cap B)=n(A\cup B) . Vërtetoni se këto bashkësi janë të barabarta.

Supozoni nga e kundërta ekziston një element i A që nuk bën pjesë në B etj.

3.Vërtetoni se bashkësia plotësuese e C_{E}A është  bashkësia A.

Do të vërtetojmë se C_{E}^{C_{E}^{A}}=A.

x\in C_{E}^{C_{E}^{A}}\Leftrightarrow x\notin C_{E}^{A}\Leftrightarrow x\in A

4.Vërtetoni pohimet: a)   C_{E}^{A}=C_{E}^{B}\Rightarrow A=B   b) A\subset B\Rightarrow C_{E}^{A}\cup B=E   c)A\cup B=E\Rightarrow C_{E}^{A}\subset B

a) x\in A\Leftrightarrow x\notin C_{E}^{A}\Leftrightarrow x\notin C_{E}^{B} (kushti)\Leftrightarrow x\in B  (njëvlershmëria tregon se A=B)

b) *x\in C_{E}^{A}\cup B\Rightarrow x\in C_{E}^{A}\vee x\in B\Rightarrow x\in E   *x\in E\Rightarrow x\in B\vee x\in C_{E}^{B}\Rightarrow x\in B\vee x\in B\Rightarrow x\in B\vee x\notin A(A\subset B/kushti)\Rightarrow x\in B\vee x\in C_{E}^{A}\Rightarrow x\in C_{E}^{A}\cup B

c) x\in C_{E}^{A}\Rightarrow x\in E\wedge x\notin A\Rightarrow x\in A\cup B\wedge x\notin A\Rightarrow x\in B

5. Vërtetoni barazimet: a) C_{E}^{A\cap B}=C_{E}^{A}\cup C_{E}^{B}    b) C_{E}^{A\cup B}=C_{E}^{A}\cap C_{E}^{B}

a)x\in C_{E}^{A\cap B}\Leftrightarrow x\in E\wedge x\notin A\cap B\Leftrightarrow \left ( x\in E \right )\wedge \left ( x\notin A\vee x\notin B \right )\Leftrightarrow \left ( x\in E\wedge x\notin A \right )\vee \left ( x\in E\wedge x\notin B \right )\Leftrightarrow x\in C_{E}^{A}\vee x\in C_{E}^{B}\Leftrightarrow x\in C_{E}^{A}\cup C_{E}^{B}

b)Nëse e kupton a) kërkesën b) e zgjidhni vetë pa asnjë lloj problemi.

Për paqartësi dhe udhëzime të tjera  KONTAKTONI