Konsultimet Mat avancuar 21 qershor. Ushtrime te zgjidhura dhe udhezime.

21.21.Ne drejtezen d:\frac{x}{1}=\frac{y+7}{2}=\frac{z-3}{-1}  te gjendet pika me e afert me piken A(3,2,6)

zgjidhje

Pika me e afert e pikes A ne drejtezen d eshte M projeksioni i A ne d. Per ta gjetur kete pike ndertojme planin a pingul me drejtezen d dhe gjejme pikeprerjen e ketij plani me drejtezen.Vektori drejtues i drejtezes d sheben si vektor pingul per planin. Ekuacioni i planit eshte  1\cdot (x-3)+2\cdot (y-2)-1\cdot (z-6)=0\Leftrightarrow x+2y-z-1=0

Ekuacionet parametrike te drejtezes jane: \left \{ \begin{matrix} x=t \\ y=2t-7\\ z=-t+3 \end{matrix} \right.   Kordinatat e pikes M gjenden duke zgjidhur sistemin: \left \{ \begin{matrix} x=t \\ y=2t-7\\ z=-t+3\\ x+2y-z-1=0 \end{matrix} \right.\Leftrightarrow t+2(2t-7)-(-t+3)-1=0\Leftrightarrow t=3

zevendesojme dhe gjejme x=3, y=-1, z=0  dmth M(3;-1;0)

2.Te vertetohet se drejteza \frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{3}   shtrihet ne planin x+y-z-6=0

zgjidhje

Nje menyre zgjidhje eshte duke vendosur ne nje sistem ekuacionet parametrike te drejtezes dhe ekuacionin e planit  si me siper. Ekuacioni i fundit do te kete pafundesi zgjidhjesh do te jete i formes  0\cdot t=0

Menyra e dyte: Ekuacionet parametrike te drejtezes jane:   \left \{ \begin{matrix} x=2t+2\\ y=t+3\\ z=3t-1 \end{matrix} \right.   Marrim dy pika te çfardoshme te drejtezes dhe provojme se i perkasin planit, vertetojne ekuacionin e tij. (Nese dy pika te nje drejteze ndodhen ne nje plan atehere e gjithe drejteza shtrihet ne ate plan). Per t=0  marrim x=2, y=3, z=-1. Zevendesojme tek plani 2+3+1-6=0 (i vertete).  Per t=1 marrim x=4, y=4, z=2. Zevendesojme 4+4-2-6=0 (ivertete). Drejteza shtrihet ne plan.

3.Plani mx+ny+6z+3 dhe drejteza   \frac{x-2}{2}+\frac{y+5}{-4}=\frac{z+1}{3}  jane pingule. Te gjendet m+n

zgjidhje

Meqe drejteza eshte pingul me planin vektori drejtues i drejtezes eshte paralel me vektorin pingul te planit. \frac{m}{2}+\frac{n}{-4}=\frac{6}{3}=2\Rightarrow m=4\wedge n=-8\Rightarrow m+n=-4 

4.Te shkruhet ekuacioni i planit qe kalon nga pika A(-1,2,-3) dhe eshte paralel me vektoret: \vec{a}=\begin{pmatrix} 2\\ -3\\ 0 \end{pmatrix} , \vec{b}=\begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 4 \end{pmatrix}

zgjidhje

Menyra e pare: meqe plani eshte paralel me dy vektoret kjo do te thote se ai do te jete pingul me prodhimin vektorial te tyre. Keshtu do te gjejme \vec{a}X\vec{b} dhe pastaj ekuacionin e planit qe kalon nga nje pike e dhene pingul me nje vektor te dhene.

Menyra e dyte: Le te jete M(x;y;z) nje pike e çfardoshme e planit te kerkuar. Vektoret    \overrightarrow{AM},\vec{a}, \vec{b}   jane bashkeplanare kjo do te thote se percaktori: \left | \begin{matrix} x+1 &2 &-1 \\ y-2& -3 & 2\\ z+3 &0 & 4 \end{matrix} \right |=0\Leftrightarrow -12(x+1)+4(z+3)-3(z+3)-8(y-2)=0\Leftrightarrow -12x-12+z+3-8y+16=0\Leftrightarrow 12x+8y-z-7=0